D-modules arithmétiques et transformées de Fourier-Mukai
Thèse soutenue par Florian Viguier
event
Jeudi 16 décembre 2021 - 15:00
Jeudi 16 décembre 2021 - 15:00
place
Salle de conférences IRMA
Salle de conférences IRMA
- Ahmed Abbes (examinateur - IHES)
- Daniel Caro (rapporteur - Caen)
- Carlo Gasbarri (examinateur - Strasbourg)
- Michel Gros (examinateur - Rennes)
- Christine Huyghe (directrice de thèse - Strasbourg)
- Mauro Porta (examinateur - Strasbourg)
- Matthias Strauch (rapporteur - Bloomington, Indiana)
Résumé :
L’objectif de cette thèse est d’étendre la construction de la transformée de Fourier-Mukai en un foncteur sur les D-modules arithmétiques sur un schéma en groupes abéliens formel tout en conservant les propriétés fondamentales de ce foncteur, en particulier son involutivité.
Pour ce faire, nous étendrons dans un premier temps la transformée de Fourier-Mukai en un foncteur sur les O-modules sur un schéma en groupes abéliens formel A et en déduirons une équivalence de catégorie entre les quasi-cohérents (au sens de Berthelot) sur A et ceux sur A^∨, la variété abélienne duale de A, ainsi qu’un résultat similaire sur les variétés analytiques rigides avec bonne réduction.
Dans le cas d’une variété abélienne sur un corps de caractéristique nulle, Laumon (et indépendamment Rothstein) ont défini une transformation de Fourier-Mukai sur la catégorie des D-modules sur cette variété, à valeurs dans la catégorie des O-modules quasi-cohérents sur la variété abélienne différentielle duale A^{bécarre} de A. En adaptant ces constructions au cas des D-modules arithmétiques cristalins sur un schéma en groupes abéliens formel A nous pouvons construire un analogue p-adique de cette transformation.
Si l’involutivité de cette transformée est encore à l’état de conjecture, nous prouvons tout de même qu’elle est essentiellement surjective de la catégorie des Dˆ(0)-modules quasi-cohérents sur A dans celle des O-modules quasi-cohérent sur A^{bécarre}, le schéma en groupes abéliens D-dual.
L’objectif de cette thèse est d’étendre la construction de la transformée de Fourier-Mukai en un foncteur sur les D-modules arithmétiques sur un schéma en groupes abéliens formel tout en conservant les propriétés fondamentales de ce foncteur, en particulier son involutivité.
Pour ce faire, nous étendrons dans un premier temps la transformée de Fourier-Mukai en un foncteur sur les O-modules sur un schéma en groupes abéliens formel A et en déduirons une équivalence de catégorie entre les quasi-cohérents (au sens de Berthelot) sur A et ceux sur A^∨, la variété abélienne duale de A, ainsi qu’un résultat similaire sur les variétés analytiques rigides avec bonne réduction.
Dans le cas d’une variété abélienne sur un corps de caractéristique nulle, Laumon (et indépendamment Rothstein) ont défini une transformation de Fourier-Mukai sur la catégorie des D-modules sur cette variété, à valeurs dans la catégorie des O-modules quasi-cohérents sur la variété abélienne différentielle duale A^{bécarre} de A. En adaptant ces constructions au cas des D-modules arithmétiques cristalins sur un schéma en groupes abéliens formel A nous pouvons construire un analogue p-adique de cette transformation.
Si l’involutivité de cette transformée est encore à l’état de conjecture, nous prouvons tout de même qu’elle est essentiellement surjective de la catégorie des Dˆ(0)-modules quasi-cohérents sur A dans celle des O-modules quasi-cohérent sur A^{bécarre}, le schéma en groupes abéliens D-dual.