Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : L'application d'un champ électromagnétique externe permet de contrôler l'évolution d'un système quantique. Les applications associées, telles que la manipulation du spin nucléaire des protons en imagerie médicale ou le contrôle des états internes d'atomes piégés en information quantique, exigent de piloter un système d'un état initial donné vers un état cible, ou un voisinage de celui-ci, en minimisant le temps de transfert. Un modèle usuel pour cette classe de problèmes s'appuie sur le formalisme de l'équation de Schrödinger intégrant un terme de contrôle bilinéaire. Conçu pour être accessible sans prérequis en mécanique quantique, cet exposé dressera un panorama des méthodes fondamentales du domaine sur les 25 dernières années, allant des théorèmes pionniers de Beauchard et Coron jusqu'aux contributions récentes de Nersesyan et Duca sur la contrôlabilité en temps arbitrairement petit.

Résumé : The study of non-abelian cohomology was pioneered by Simpson in the 90s, and is, broadly speaking, the study of representations of the fundamental groups of algebraic varieties; on the other hand, many questions on this subject were already studied in the early 1900s by mathematicians such as Painlevé, Garnier, and Schlesinger. As for usual cohomology, there are many different realizations of non-abelian cohomology, such as Betti, de Rham, étale, and even crystalline, leading to a rich interplay between dynamics, differential equations, and arithmetic. I will give an introduction to this topic, focusing on the mod p aspects, and the proof of a conjecture of Bost/Ekedahl--Shepherd-Barron--Taylor in many new cases. This is based on joint work with Daniel Litt.

Résumé : The Mandelbrot set is one of the most iconic objects in mathematics due to its visual appeal. It has its origin in the complex dynamics of quadratic polynomials. In this talk, we introduce Julia sets and the Mandelbrot set from scratch. We will show that a Julia set is connected if it is parametrized by a point inside the Mandelbrot set and completely disconnected otherwise. Time permitting, we will show that the Mandelbrot set itself is connected.

Résumé : Résumé : Travail en commun avec Christophe Reutenauer (UQAM). Il y a quelques années nous avions calculé le nombre d'idéaux de codimension finie $n$ de l’algèbre des polynômes de Laurent à deux variables sur un corps fini. Ce nombre s’exprime à l’aide d’un polynôme $P_n(X)$ de degré $n-1$ prenant une valeur entière $P_n(N)$ pour chaque entier $N$. Nous montrons que la suite d’entiers $(P_n(N))_{n\geq 1}$ est proche d’une autre suite d’entiers $(E_n(N))_{n\geq 1}$ qui, elle, s’exprime simplement à l’aide de polynômes de Tchebychev de première espèce. La différence entre $P_n(N)$ et $E_n(N)$ est fonction du nombre de diviseurs impairs de $n$. Lors que ce nombre est égal à $1$, c’est-à-dire lorsque $n$ est une puissance de $2$, on a $P_n(N) = E_n(N)$, et seulement dans ce cas.