Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Résumé : On abordera ici la question des distributions quasistationnaires (QSD) des dynamiques non-linéaires de type McKean-Vlasov. On se concentrera d'abord sur la construction et l'approximation de QSD de dynamiques non linéaires à temps discret (typiquement des schémas d'Euler de McKean-Vlasov). Dans ce cadre, on montrera que les approches auto-attractives développées dans Benaim et. al. 2019, peuvent s'étendre à ce cadre. Dans un second temps, on s'intéressera dans le cadre particulier des discrétisations de McKean-Vlasov que, sous des hypothèses adéquates, celles-ci approchent bien les QSDs de leurs homologues en temps continu.

Résumé : Time modulation of materials has become increasingly popular as a further design approach for metamaterials to induce unusual wave phenomena. In the mathematical modelling, this leads to partial differential equations with coefficients that are highly varying in space and/or time. Since direct numerical simulations are prohibitively expensive, multiscale methods are required to efficiently approximate at least the macroscopic behavior. At the example of the classical wave equation, we will discuss two recent approaches in that direction. One approach is more analytical and aims to deduce higher-order effective equations for temporal multiscale coefficients using asymptotic expansions. The other approach is more numerical, where we present the construction of non-polynomial, multiscale basis functions combined with standard time stepping schemes numerical for spatial multiscale coefficients with additional slow time variations.

Résumé : Les associateurs de Drinfeld sont des objets algébriques compliqués qui produisent des représentations pro-unipotentes/perturbatives universelles des groupes (ou de la catégorie, ou de l'opérade,..) des tresses. Ils sont la pierre angulaire du lien remarquable qui existe entre topologie de basse dimension, quantification par déformation et théorie des représentations : ils fournissent une construction combinatoire de l'invariant de Vassiliev-Kontsevich des entrelacs, donnent une famille (conjecturalement complète) de relations algébriques entre les nombres multizeta, et sont responsables de tous les théorèmes difficiles d'existence de quantifications de structures de Poisson. Ils expliquent en particulier l'existence des groupes quantiques et des invariants d'entrelacs associés. Dans cet exposé on expliquera une construction combinatoire de variante en genre supérieure des associateurs : étant donnés un associateur et une surface S qui compacte, orientée, éventuellement à bord, cette construction produit une représentation perturbative universelle de la catégorie des tresses sur S dans une certaine catégorie de diagrammes de Feynman. Les ingrédients essentiels sont une certaine propriété d'excision satisfaite par les catégories de tresses sur les surfaces, ainsi qu'une quantification du procédé « d'exponentiation » dû à Alekseev-Malkin-Meinrenken pour la structure de Poisson sur les variétés de caractères des surfaces. Dans le cas du tore on retrouve une formule découverte par Calaque-Enriquez-Etingof. Si le temps le permets on parlera de spécialisations et du lien avec des représentations similaires obtenues grâce aux groupes quantiques.

Résumé : L'identité dite standard donne une version faible de la commutativité pour un produit de k>2 éléments. Cette identité a été mise en lumière en 1950 dans l'article célèbre par Amitsur et Levitzki qui ont montré que l'algèbre de matrices carrées de taille n est faiblement commutative pour k=2n. Dans les années 1970, plusieurs personnes ont trouvé cette identité dans le contexte de la géométrie différentielle, plus précisément en regardant l'algèbre de Lie de champs de vecteur sur une variété lisse. L'année dernière j'ai trouvé deux autres situations surprenantes ou l'identité standard apparaît : les crochets de Rankin-Cohen, d'origine dans la théorie des formes modulaires, et les opérations bilinéaires utilisées dans les formules de Kontsevich de la quantification par déformation. Dans cet exposé, je vais donner une introduction très accessible à tous ces résultats.

Résumé : Given a sequence a_n, one can ask about its behaviour as n grows, i.e., its asymptotics. This question has been very well studied in a wide context, with general results developped, for instance, within analytic combinatorics. What happens when our sequence has two parameters that both go to infinity ? Now we're in the realm of bivariate asymptotics, for which there exists some results from analytic combinatorics, but the current knowledge is still much more limited than in the univariate case. Together with Andrew Elvey Price, Wenjie Fang and Michael Wallner, we developped new methods to study bivariate recurrences and obtain asymptotics from it, which we apply to several contexts as advertised in the title. I will explain the historical background as well as our new results, without going too much into the technicalities.

Résumé : The birational geometry of smooth projective complex varieties with trivial canonical bundle is a deep and intensively studied subject. While there has been a lot of work on birational maps between such varieties (for example, on birational automorphisms of Hyper-Kähler manifolds), less has been said about rational maps of degree at least two, which we will call rational covers. What restrictions do rational covers Y --> X (and especially their monodromy) impose on the geometry of X, when both X and Y have trivial canonical bundle? For a given X, when does there exists such a cover which is furthermore Galois?
In this talk, we will present and answer various questions around this theme, with a particular interest in the case where X is Hyper-Kähler. The main motivation is the following question of Laza: can it be that any Hyper-Kähler deforms to one birational to A/G, where A is an abelian variety and G a finite group acting on it?