Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Il existe une série de vieilles conjectures attribuées à Kaplansky portant sur les anneaux de groupe. Par exemple, la conjecture des diviseurs de zéro prédit que dans l'anneau d'un groupe sans torsion sur un corps il n'y a pas de diviseur de zéro. Ces conjectures, simples à formuler, relient à des questions profondes, comme l'existence d'un groupe non sofique et les conjectures de Baum--Connes et de Farrell--Jones. Dans cet exposé, je discuterai de ces conjectures et ma réfutation de la conjecture des unités de Kaplansky.

Résumé : Résumé : Le problème de limite d'échelle pour des structures combinatoires aléatoires (arbres, graphes, cartes planaires,...) consiste à prouver la convergence vers un espace métrique compact non trivial, lorsque l'on prend de tels objets avec un nombre n →∞ de sommets, après une normalisation adéquate des distances. La convergence s'entend typiquement au sens de Gromov-Hausdorff (-Prokhorov), et permet de capturer la géométrie à grande échelle de ces objets. Je discuterai, en application à la théorie des cartes planaires aléatoires, d'une approche à ce problème en deux étapes : (i) obtenir une convergence plus faible le long d'une suite avec n aléatoire mais concentré, et (ii) dé-moyenner pour retrouver exactement n. Une telle approche a déjà été menée par le passé dans ce contexte. Cependant, une des nouveautés du travail présenté consiste en l'introduction et l'utilisation d'un théorème taubérien qui effectue cette deuxième étape de manière « automatique » modulo l'existence de certains couplages croissants. Exposé basé sur arXiv:2510.05078

Résumé : On cherche à résoudre un problème inverse non linéaire de source dans un système de deux équations aux dérivées partielles paraboliques 2D couplées d'advection-dispersion-réaction. Dans ce système, nous abordons l'identification de plusieurs sources inconnues, mélangées et distribuées, définissant le membre de droite de sa première équation en utilisant certaines observations locales liées à l'état de la solution de sa deuxième équation couplée. Nous développons des fonctions adjointes appropriées permettant d'établir des écarts de réciprocité remplis par les éléments inconnus définissant les sources recherchées. Ces fonctions adjointes sont définies par des potentiels scalaires dérivés de champs colinéaires aux directions orthogonales indiquées par les vecteurs propres du tenseur de dispersion symétrique. À partir de certaines interfaces de mesure mises en place dans le domaine surveillé, nous établissons un résultat qui permet de faire la détection et l'identification de la source.

Résumé : Après avoir motivé et esquissé la définition des homologies de Khovanov--Rozansky, j'expliquerai en quoi l'approche mousseuse permet de munir ces homologies d'entrelacs de structures de sl(2)-modules. D'une part, ces nouvelles structure raffinent ces invariants homologiques et fournissent ainsi de nouveaux outils notamment dans la recherche de structures exotiques en dimension 4. D'autre part, dans un contexte plus général, ces structures algébriques permettent de relever au niveau catégorique certaines coïncidences arithmétiques dans le but catégorifier des invariants de variétés de dimension 3. En commun avec You Qi, Joshua Sussan et Emmanuel Wagner.

Résumé : Dans cette présentation, je donnerai un aperçu des axes de recherche les plus actifs du projet SMIR (Structural Music Information Research) que je coordonne à l’IRMA. Ce projet, consacré aux modèles algébriques, topologiques et catégoriels dans la recherche sur l'information musicale structurelle, est mené en collaboration avec des chercheurs en informatique de l'équipe de représentation musicale de l'IRCAM et du Lip6 (Sorbonne Université) ainsi que des musicologues du CREAA (Centre de recherche et d'expérimentation sur l'acte artistique) de l'université de Strasbourg. Les axes de recherche en cours comprennent : l’application de la morphologie mathématique dans la découverte de motifs musicaux ; l’utilisation de l’homologie persistante pour la classification automatique du style ; la théorie géométrique des rythmes musicaux ; la formalisation de l’analyse musicale transformationnelles à l’aide de la théorie des catégories ; la construction des canons rythmiques mosaïques en lien avec la théorie de l'homométrie et la conjecture spectrale de Fuglede (toujours ouverte en dimension 1 et 2). Dans ces axes de recherche on retrouve des exemples remarquables d’une dynamique « mathémusicale » consistant à partir des problèmes théoriques posés par la musique pour essayer de faire avancer la recherche mathématique et, en même temps, utiliser les formalismes mathématiques et la modélisation informatique pour explorer des nouvelles possibilités en composition. Plus d'informations sur le projet SMIR et ses diverses déclinaisons à l’adresse : https://www.mathemusique.fr/

Résumé : In this presentation I will analyze the spectrum of 1D pseudodifferential operators in a region where each energy curve is diffeomorphic to a circle. Under holomorphic assumptions on the symbol, I will use some techniques of analytic microlocal analysis to approach the spectrum up to an exponentially small error. If time allows, I will briefly present a generalization of this result for some non selfadjoint pseudodifferential operators. This work has been realized under the kind supervision of San Vu Ngoc et Yannick Guedes Bonthonneau.