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Résumé : TBA

Résumé : We present three different contributions: - Through a detailed analysis of the training dynamics of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) under the Natural Gradient, we introduce the Natural Neural Tangent Kernel (NNTK). This concept allows us to define the empirical tangent space and the empirical natural gradient, leading to the ANaGRAM algorithm, which scales as O(min(PS², SP²)), where P is the number of parameters and S the number of samples. We also establish a formal connection between the natural gradient of PINNs and Green’s function theory. - Building on an in-depth empirical analysis of ANaGRAM’s training dynamics, we propose an adaptive cutoff regularization scheme, denoted AMStraMGRAM. This strategy automatically adjusts the regularization during training, improving the performance of ANaGRAM up to machine precision on simple benchmarks. Furthermore, it extends the theoretical connection with Green’s function theory by formally relating it to regularization. - From a more theoretical standpoint, we leverage the theory of Hilbert Riggings to introduce a unifying framework based on the NNTK, encompassing both Galerkin methods and PINNs. As a consequence, we show that strong and weak formulations can be viewed within the same least-squares framework, differing only by the underlying metric, thereby deepening the connection to Green’s functions.

Résumé : Résumé : Partant des travaux pionniers de Beilinson et Kapranov, les catégories dérivées des faisceaux cohérents sur les variétés homogènes G/P ont attiré beaucoup d'attention au cours des dernières décennies. Nous commencerons par une introduction à ce domaine, puis nous discuterons des développements plus récents liés aux collections exceptionnelles de Lefschetz, à la cohomologie quantique et à la symétrie miroir homologique.

Résumé : La stabilisation frontière des membranes, plaques et corps vibrants est un problème de grande importance pour les ingénieurs et les mathématiciens appliquées, initié par David L. Russell dans les années 1970.

Grâce à la méthode des multiplicateurs, développée par L. F. Ho et Jacques-Louis Lions dans les années 1980, des résultats profonds peuvent être obtenus par une approche élégante, facilement accessibles aussi aux non-spécialistes.

Notre exposé est aussi un hommage à David L. Russell, un mathématicien distingué et une personne extrêmement humaine, disparu il y a dix ans.

Résumé : An algebraic variety is an object that is defined by the zeroes of a set of polynomials. If the coefficients of those polynomials lie in a field L, we say that the algebraic variety is defined over L. It can be interesting to know if our variety can, in fact, be defined by polynomials with coefficients in a subfield K of L ; if that is the case, we say that the variety descends on K. In this talk I am going to explain some results concerning such questions in the case of an abelian variety.

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Résumé : Close you eyes, clap your hands. Can you hear the shape of the room? Is the floor made of tiles or carpet? This thesis synthesizes a research journey that attemps to tackle these intriguing questions as engineering problems. Namely, given microphone recordings of a sound source in a room, what can be said geometrically and acoustically not about the source, but about the room? Formalizing this puzzle gives rise to a rich and fascinating network of inverse problems, at the crossroad of computer science, mathematics and physics, most of which remain open to date.

Beside sheer scientific curiosity, making progress on these questions could benefit a number of applications, from simplifying and refining the acoustic diagnosis of rooms, to making audio augmented reality more immersive, to enhancing spatial audio reproduction, to improving the processing of indoor audio signals for teleconferencing, smart devices and hearing aids.

We will present a series of algorithmic contributions to this field, leveraging tools from signal processing, optimization and machine learning, using both models primarily driven by physics and models primarily driven by simulated data. Along the way, some progress will be made in framing the feasibility and well-posedness of these problems, in developing forward and inverse models that strike a balance between complexity and realism, and in understanding the mechanisms that underpin the generalizability of such models to real-world data. Some promising experimental results will be reported on estimating the dimensions, volume, surface area, reflectors' absorption and reverberation time of a room from either impulse response measurements or audio recordings, with or without the aid of geometrical knowledge. We will also investigate the potential benefit of knowing and exploiting such quantities in tasks beyond room acoustics, such as localizing and separating sound sources, and offer directions for future research in the field.

Résumé : Les groupes de Galois des équations différentielles linéaires sont des groupes algébriques qui mesurent ce que l’algèbre voit de la dynamique, ce qu’elle peut dire de leurs solutions (par exemple le fait de pouvoir écrire une solution avec une formule, l’existence d’intégrales premières, etc). Leur détermination a fait l’objet de nombreux travaux dans les trente dernières années, avec notamment des contributions de l’école de Strasbourg, en particulier des travaux de Jean-Pierre Ramis et de Claudine Mitschi. Dans les 10 dernières années, nous avons développé avec de nombreux co-auteurs des méthodes de détermination des groupes de Galois différentiels en rendant effectives des théories de "formes réduites” de Kolchin et Kovacic. L’exposé présentera les groupes de Galois différentiels à travers quelques exemples signifiants puis les grandes idées de nos méthodes de formes réduites (classifications d’algèbres de Lie, invariants, décompositions de modules différentiels, etc). L’exposé ne supposera pas de connaissances au delà de la licence.

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Résumé : Abstract : The lifted TASEP is a variant of the totally asymmetric exclusion process where at each time-step, instead of trying to move forward a uniformly chosen particle, we try to move forward a marked particle which then may pass the marker to another particle. It was introduced by physicists as a toy model for non-reversible event-chain Monte-Carlo algorithms, which are expected to reach equilibrium faster than reversible dynamics. We will study the behaviour of this system on the integer line by evidencing a connexion with true self-avoiding walks, yielding timescales of the dynamics. This is based on joint work with Clément Erignoux, Werner Krauth, François Simenhaus and Cristina Toninelli.

Résumé : Résumé : En regardant l’état actuel des mathématiques pures, on y voit un foisonnement impressionnant de théories de cohomologie diverses et variées. Qu’est-ce que cela nous apprend sur les mathématiques d’aujourd’hui, et comment en sont-elles arrivées là ? Des historiens des mathématiques ont contribué certains réflexions intéressantes à ce sujet, mais je pense qu’il en reste beaucoup de travail à faire. L'exposé offrira un kaléidoscope de moments historiques du XXe siècle, qui nous amèneront à poser des questions sur le rôle et la nature de "la cohomologie".

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Résumé : On cherche à résoudre un problème inverse non linéaire de source dans un système de deux équations aux dérivées partielles paraboliques 2D couplées d'advection-dispersion-réaction. Dans ce système, nous abordons l'identification de plusieurs sources inconnues, mélangées et distribuées, définissant le membre de droite de sa première équation en utilisant certaines observations locales liées à l'état de la solution de sa deuxième équation couplée. Nous développons des fonctions adjointes appropriées permettant d'établir des écarts de réciprocité remplis par les éléments inconnus définissant les sources recherchées. Ces fonctions adjointes sont définies par des potentiels scalaires dérivés de champs colinéaires aux directions orthogonales indiquées par les vecteurs propres du tenseur de dispersion symétrique. À partir de certaines interfaces de mesure mises en place dans le domaine surveillé, nous établissons un résultat qui permet de faire la détection et l'identification de la source.

Résumé : Dans cet exposé j'utiliserai des techniques d'analyse microlocale analytique pour étudier le spectre d'opérateurs pseudodifférentiels 1D dans une région où les courbes d'énergie sont difféomorphes au cercle. Si le temps le permet on parlera du cas non autoadjoint et d'opérateurs intégraux de Fourier complexes.

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