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Résumé : La théorie des catégories est un formalisme mathématique qui permet d'étudier des objets en se concentrant sur les morphismes, ou les relations, entre ces objets, plutôt que sur la forme, ou les éléments, d'un objet donné. À l'origine, la théorie fut dévelopée pour généraliser certains résultats d'algèbre qui possédaient des preuves très similaires : pourquoi refaire dix fois la même preuve dans des contextes différents plutôt que de posséder un modèle de preuve qui s'adapte à tous ces contextes ? Malgré son origine algébrique, la théorie des catégories peut être utilisée comme théorie fondamentale des mathématiques, et peut donc être appliquée dans de nombreux domaines : elle a notamment trouvé des usages importants en informatique et physique théorique. Dans cet exposé, je présenterai une notion de catégorie différentielle cartésienne qui permet d'axiomatiser la notion de dérivée directionnelle pour les morphismes d'une catégorie. De manière quelque peu surprenante, cette notion vient d'un pan de la logique mathématique, la logique linéaire, et d'un domaine de l'informatique théorique appelé le lambda calcul. Nous commencerons par revoir la définition et des exemples de catégories, et nous étudierons ensuite l'application différentielle pour les fonctions lisses entre espaces euclidiens, qui fournira notre archétype de catégorie différentielle cartésienne. Nous finirons avec des exemples plus algébrique de catégories différentielles cartésiennes.

Résumé : Close you eyes, clap your hands. Can you hear the shape of the room? Is the floor made of tiles or carpet? This thesis synthesizes a research journey that attemps to tackle these intriguing questions as engineering problems. Namely, given microphone recordings of a sound source in a room, what can be said geometrically and acoustically not about the source, but about the room? Formalizing this puzzle gives rise to a rich and fascinating network of inverse problems, at the crossroad of computer science, mathematics and physics, most of which remain open to date.

Beside sheer scientific curiosity, making progress on these questions could benefit a number of applications, from simplifying and refining the acoustic diagnosis of rooms, to making audio augmented reality more immersive, to enhancing spatial audio reproduction, to improving the processing of indoor audio signals for teleconferencing, smart devices and hearing aids.

We will present a series of algorithmic contributions to this field, leveraging tools from signal processing, optimization and machine learning, using both models primarily driven by physics and models primarily driven by simulated data. Along the way, some progress will be made in framing the feasibility and well-posedness of these problems, in developing forward and inverse models that strike a balance between complexity and realism, and in understanding the mechanisms that underpin the generalizability of such models to real-world data. Some promising experimental results will be reported on estimating the dimensions, volume, surface area, reflectors' absorption and reverberation time of a room from either impulse response measurements or audio recordings, with or without the aid of geometrical knowledge. We will also investigate the potential benefit of knowing and exploiting such quantities in tasks beyond room acoustics, such as localizing and separating sound sources, and offer directions for future research in the field.

Résumé : The discriminant of a projective hypersurface X over a ring R is a polynomial in the coefficients whose invertibility determines whether X is smooth. When R is a discrete valuation ring, we relate the valuation of the discriminant to the type of singularities. This is joint work with Michael Stoll.

Résumé : Parametric partial differential equations arise in many fields of science and engineering. Solving such PDEs for a large number of parameter values using classical high-fidelity numerical methods is often computationally expensive or even infeasible. This motivates the use of model order reduction techniques, which aim to construct low-dimensional surrogate models that preserve the essential behavior of the system. In this presentation, we introduce the classical linear Reduced Basis Method and discuss its main limitations. We then explore several nonlinear approaches designed to overcome these limitations and achieve improved efficiency and accuracy.

Résumé : Les groupes de Galois des équations différentielles linéaires sont des groupes algébriques qui mesurent ce que l’algèbre voit de la dynamique, ce qu’elle peut dire de leurs solutions (par exemple le fait de pouvoir écrire une solution avec une formule, l’existence d’intégrales premières, etc). Leur détermination a fait l’objet de nombreux travaux dans les trente dernières années, avec notamment des contributions de l’école de Strasbourg, en particulier des travaux de Jean-Pierre Ramis et de Claudine Mitschi. Dans les 10 dernières années, nous avons développé avec de nombreux co-auteurs des méthodes de détermination des groupes de Galois différentiels en rendant effectives des théories de "formes réduites” de Kolchin et Kovacic. L’exposé présentera les groupes de Galois différentiels à travers quelques exemples signifiants puis les grandes idées de nos méthodes de formes réduites (classifications d’algèbres de Lie, invariants, décompositions de modules différentiels, etc). L’exposé ne supposera pas de connaissances au delà de la licence.

Résumé : In this talk we focus our attention on compactly supported Hamiltonian diffeomorphisms of the plane. To each pair of distinct fixed points we can associate an integer, the linking number of the pair. Moreover, we can describe the dynamics of the diffeomorphism itself via the Morse complex of a generating function. This Morse complex is classically known to be filtered by action. In this talk we are going to show how we can equip its tensor power with a secondary filtration which keeps track of the linking numbers of pairs of orbits. The proof relies on foundational work on twist maps carried out by Patrice Le Calvez in the '90s, and on uniqueness properties of generating functions. Moreover, we are going to explain how using this language one may provide a finite-dimensional proof of Hofer-lower semicontinuity of the topological entropy, first proved by Alves and Meiwes. One can define a similar filtration on Floer complexes using intersection products of pseudo-holomorphic cylinders as defined by Siefring: if time permits, we are going to provide a sketch of this construction.

Résumé : Titre: Pléthysme pour les opérades colorées et les prop(érade)s Résumé : Une opérade est une suite symétrique (ou espèce) munie d’une structure de monoïde pour le produit de composition. En caractéristique nulle, la donnée d’une suite symétrique est équivalente à celle de son caractère, qui est une fonction symétrique ; le pléthysme de deux fonctions symétriques correspond alors au produit de composition des suites symétriques associées. Dans cet exposé, j’expliquerai comment définir des analogues du pléthysme pour différentes décatégorifications de structures opéradiques : les opérades colorées, les props et les propérades. Ces analogues admettent une description calculable et permettent, entre autres, de déterminer la décomposition en facteurs irréductibles de l’homologie stable tordue des groupes d’automorphismes de groupes libres, ainsi que de la cohomologie d’Albanese des groupes d’automorphismes IA. (Travail en collaboration avec Erik Lindell.)

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Résumé : Abstract : The lifted TASEP is a variant of the totally asymmetric exclusion process where at each time-step, instead of trying to move forward a uniformly chosen particle, we try to move forward a marked particle which then may pass the marker to another particle. It was introduced by physicists as a toy model for non-reversible event-chain Monte-Carlo algorithms, which are expected to reach equilibrium faster than reversible dynamics. We will study the behaviour of this system on the integer line by evidencing a connexion with true self-avoiding walks, yielding timescales of the dynamics. This is based on joint work with Clément Erignoux, Werner Krauth, François Simenhaus and Cristina Toninelli.

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Résumé : Titre : Une promenade arborée vers l'homologie d'infini-algèbres linéaires Résumé : Le but final de cet exposé est de parler d'homologie d'infini-algèbres linéaires. Le point de départ est simplement deux catégories d'arbres, dont le but est de modéliser (via des préfaisceaux à valeurs dans les complexes de chaines) des infini-(co)opérades et les algèbres sur ces opérades. Je présenterai des constructions bar et cobar pour ces structures algébriques, et les relierai à des constructions plus classiques. Celles-ci servent alors à définir des théories homologiques pour les opérades et algèbres considérées. Si le temps le permet, je mentionnerai également des travaux en cours pour étendre les résultats précédents, faisant apparaitre une plus grande diversité d'arbres ainsi que des forêts. Ceci est un travail en commun avec Ieke Moerdijk.

Résumé : Résumé : En regardant l’état actuel des mathématiques pures, on y voit un foisonnement impressionnant de théories de cohomologie diverses et variées. Qu’est-ce que cela nous apprend sur les mathématiques d’aujourd’hui, et comment en sont-elles arrivées là ? Des historiens des mathématiques ont contribué certains réflexions intéressantes à ce sujet, mais je pense qu’il en reste beaucoup de travail à faire. L'exposé offrira un kaléidoscope de moments historiques du XXe siècle, qui nous amèneront à poser des questions sur le rôle et la nature de "la cohomologie".

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Résumé : On cherche à résoudre un problème inverse non linéaire de source dans un système de deux équations aux dérivées partielles paraboliques 2D couplées d'advection-dispersion-réaction. Dans ce système, nous abordons l'identification de plusieurs sources inconnues, mélangées et distribuées, définissant le membre de droite de sa première équation en utilisant certaines observations locales liées à l'état de la solution de sa deuxième équation couplée. Nous développons des fonctions adjointes appropriées permettant d'établir des écarts de réciprocité remplis par les éléments inconnus définissant les sources recherchées. Ces fonctions adjointes sont définies par des potentiels scalaires dérivés de champs colinéaires aux directions orthogonales indiquées par les vecteurs propres du tenseur de dispersion symétrique. À partir de certaines interfaces de mesure mises en place dans le domaine surveillé, nous établissons un résultat qui permet de faire la détection et l'identification de la source.

Résumé : Dans cet exposé j'utiliserai des techniques d'analyse microlocale analytique pour étudier le spectre d'opérateurs pseudodifférentiels 1D dans une région où les courbes d'énergie sont difféomorphes au cercle. Si le temps le permet on parlera du cas non autoadjoint et d'opérateurs intégraux de Fourier complexes.

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Résumé : Résumé : I will discuss the construction of symplectic Lefschetz fibrations using tools from classical Lie theory, and then explain how they were used to provide examples of new phenomena in Mirror Symmetry.

Résumé : TBA

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