event
Vendredi 28 février 2025
Vendredi 28 février 2025
place
Salle de séminaires IRMA
Salle de séminaires IRMA
La journée spéciale Master 2 Maths fondamentales aura lieu le vendredi 28 février dans la salle de séminaire de l'IRMA.
Organisateurs : Frédéric Chapoton (IRMA Strasbourg)
Orateurs :
- V. Fock (IRMA)
- S. Ikonicoff (IRMA)
- N. Markarian (IRMA)
Lieu: salle de séminaire de l'IRMA
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Vendredi 28 février 2025
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09:00
Vladimir Fock, IRMA
Voie royale vers la géométrie riemannienne.
La géométrie riemannienne est traditionnellement associée à des formules très compliquées. Nous allons introduire le formalisme de Palatini, développé à peu près simultanément avec la relativité générale, qui permet de simplifier drastiquement la complexité des calculs. En particulier, il s'avère que la structure de la géométrie riemannienne est gouvernée par l'action de l'algèbre de Lie sl(2)×sl(2) (indépendamment de la dimension). Cette action permet de démontrer plusieurs théorèmes, ainsi que de simplifier les constructions de la relativité et, en général, la géométrie riemannienne. Nous commencerons par réviser certains objets algébriques tels que les représentations de l'algèbre sl(2), l'algèbre de Clifford, et l'opérateur * de Hodge. Ensuite on parlera de connexions dans un fibré vectoriel et nous appliquerons toutes ces constructions à la géométrie riemannienne. -
10:45
Nikita Markarian, IRMA
Structures de Poisson de Feigin-Odesski
1. a. Structures symplectiques et structures de Poisson b. Théorème de Darboux c. Groupoïde symplectique d. Premiers exemples de structures de Poisson 2. a. Courbes elliptiques b. Fibrés vectoriels simples sur les courbes elliptiques c. Extensions de fibrés vectoriels d. Définition de la structure de Poisson de Feigin-Odesski e. Premiers exemples de structures de Poisson de Feigin-Odesski -
14:00
Sacha Ikonicoff, IRMA
Algèbres sur une opérade et leur (co)homologie
La (co)homologie de Hochschild est un invariant classique permettant une étude de certaines déformations des algèbres associatives. Dans les années 1960, Quillen propose une méthode inspirée de l'algèbre homologique pour définir des invariants dans un contexte plus large, utilisant des techniques provenant de sa théorie de l'homotopie. Cette (co)homologie de Quillen correspond, dans le cas des algèbres associatives, à celle de Hochschild, mais permet aussi une étude plus fine des algèbres commutatives. Le but de cet exposé sera d'introduire la (co)homologie de Quillen pour de nombreuses familles d'algèbres. Nous nous appuierons ici sur la notion d'opérade. En un mot, une opérade est un objet algébrique dont les éléments sont des opérations que l'on peut composer. Une opérade décrit une famille d'algèbre de la même façon qu'une algèbre décrit une famille de modules. Pensez à un module sur une algèbre associative: chaque élément peut être vu comme une opération unaire sur le module. De manière similaire, les éléments d'une opérade sont vus comme des opérations (d'une certaine arité) qui agissent sur leurs algèbres. Il y a une opérade pour les algèbres associatives, pour les algèbres commutatives, pour les algèbres de Lie… En étudiant une opérade, on étudie les propriétés de toutes ses algèbres de manière unifiée. Le plan de cet exposé est le suivant: dans un premier temps on décrira les calculs classiques qui mènent à la (co)homologie de Quillen des algèbres commutatives. Dans un second temps on définira la notion d'opérades et les algèbres associée. Finalement, on verra comment les techniques de Quillen peuvent s'appliquer aux algèbres sur une opérade pour définir une théorie (co)homologique qui correspond dans certains cas à une théorie (co)homologique connue. La référence principale pour cet exposé est le livre Algebraic Operads de Jean-Louis Loday et Bruno Vallette, sections 5.2 et 12.3, et les calculs disponibles notamment en appendice A de la thèse de Martin Frankland ; les nombreuses références plus classiques sont dues à Quillen, Barr, Beck, André, Ginzburg, Kapranov, Goerss, Hopkins, Fresse, Livernet…