Points rationnels d’une famille de sous-schémas fermés dans une variété semi-abélienne

• - Carlo Gasbarri, Université de Strasbourg
• - Gaël Rémond, Université de Bordeaux
• - Marc Hindry, Université Pierre et Marie Curie
• - Sinnou David, Université Pierre et Marie Curie
• - Yann Bugeaud, Université de Strasbourg
  

Soit X un sous-schéma fermé d'une variété abélienne A sur un corps de nombres K. L'ancienne conjecture de Mordell-Lang nous assure que X(K) est une réunion finie de sous-ensembles a_i+B_i(K) où a_i est un point de X(K) et B_i est une sous-variété abélienne de A de sorte que le translaté a_i+B_i soit contenu dans X. Dans cette présentation, nous montrerons un raffinement de ce résultat : si l'on considère une famille V=(V_p)_p de sous-schémas fermés de A, on peut naturellement recouvrir chaque V_p(K) avec un nombre fini de translatés a_{i,p}+B_{i,p}(K), mais nous prouverons que l'on peut choisir les points a_{i,p} de sorte que leur hauteur soit bornée par celle du point p. Ce résultat et ses généralisations permettent d'obtenir une majoration semi-effective de la hauteur des solutions d'une équation aux unités.