-
Dragos Fratila
Réunion de préparation
21 septembre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
-
Gustave Billon
Theorie de Hodge: theoremes de Lefschetz et Hodge-Riemann bilineaire
5 octobre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
Pour les varietes projectives lisses on revisitera le theoreme d'hyperplans de Lefschetz, le theoreme de Lefschetz dur et ensuite on verra les relations de Hodge-Riemann bilineaires. On expliquera une preuve de Lefschetz dur par recurrence en utilisant Lefschetz faible et Hodge-Riemann en dimension plus petite. Elle nous servira de modele pour les preuves des enonces analogues dans le cadre du theoreme de decomposition. -
Colin Fourel
Theoreme de Deligne sur les morphismes projectifs et lisses
19 octobre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
Nous allons voir que pour un morphisme projectif et lisse le poussé en avant du systemele local constant se decompose (dans la catégorie dérivée) en une somme directe de systemes locaux (decalés). En particulier cela nous donnera la degenerescence de la suite spectrale de Leray. Ensuite on montrera que chacun de ces systemes locaux est semisimple. -
Thomas Agugliaro
Dimension cohomologique des faisceaux constructibles et faisceaux pervers
19 octobre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Le theoreme d'annulation d'Artin-Grothendieck nous dit que pour une variete affine de dimension n et un faisceaux constructible la cohomologie en degre >n est nulle.
Si on impose cette condition sur un complexe de faisceaux constructibles on trouve la (moitie de la) definition d'un faisceaux pervers.
On introduira la t-structure perverse, les faisceaux d'intersection et on expliquera les proprietes les plus importantes.
Si le temps le permet, on esquissera une generalisation du theoreme de Lefschetz faible pour les faisceaux pervers. -
Giuseppe Ancona
Lefschetz effetivamente funziona pour les classes semismall
26 octobre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
Une classe de cohomologie en H^2 est dite "lef" si elle satisfait le theoreme de Lefschetz dur et les relations de Hodge-Riemann bilineaires. Les classes amples sont lef. On donnera une caracterisation geometrique pour qu'une classe soit "lef": il faut qu'un multiple donne un morphisme vers P^N qui est semismall sur l'image (le lieu ou les fibres sont de dimension d doit avoir codimension au moins 2d). -
Lie Fu
Theoreme de decomposition pour les morphismes semismall
9 novembre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
En s'appuyant sur le theoreme "lef=semismall" presenté par Giuseppe la séance précédente nous montreron le theoreme de decomposition pour les morphismes semismall. A savoir, si f:X->Y est semismall alors le poussé en avant par f du faisceau constant se decompose en une somme directe de faisceaux d'intersection. De plus, les supports de ces faisceaux pervers simples s'identifient aux strates pertitentes (l'inegalité dans la definition de semismall est une egalite). -
Emiliano Ambrosi
Les énoncés du paquet du théorème de décomposition
16 novembre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
Apres avoir vu la démonstration de <> et du theoreme de decomposition pour les morphismes semi-small on passe au cas general. Le point de depart est de faire un recurrence sur le défaut de semi-small. Pour cela il faudra introduire un paquet plus grand d'énoncés que ceux que l'on a vu dans le cas semismall. La plupart de l'expose sera consacrer a donner ces enoncés et a expliquer les grandes lignes de la preuve. On essaiera voir a quoi ca ressemble dans un exemple ou le defaut de semi-small est 1. -
Tre Ragazzi
Grauert, Strategie, Exemples
23 novembre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
Giuseppe nous expliquera le theoreme d'indice de Grauert qui est une généralisation du théorème d'indice de Hodge au cas semismall general.
Emiliano nous expliquera la strategie de preuve dans un exemple concret.
Dragos donnera quelques exemples de faisceaux pervers pour illuster la semisimplicite et la non-semisimplicité. -
Dragos Fratila
Lefschetz dur (pervers) et semisimplicité en deg≠0
30 novembre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
Le theoreme de décomposition stipule que le poussé en avant du faisceau constant se decompose suivant la t-structure perverse et que chaque morceau pervers est semisimple.
Le theoreme de Lefschetz dur (pervers) nous permet de voir la dite decomposition. Il n'est pas très complique ensuite de voir que les faisceaux pervers en degre ≠0 sont semisimples.
Le noyau dur, comme attendu, c'est le cas en "degre moitie" (ici zero car nous avons convenu de decaler tout pour que ca soit sym par rapport a 0).
La mojorité de la suite du groupe de travail sera consacrée a la demonstration de la semisimplicité en degré 0 sans quoi la stratégie par récurrence ne pourra pas fonctionner. -
Florence Lecomte
La filtration perverse est compatible aux structures de Hodge
7 décembre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
Un morphisme de varietés algébriques f:X-->Y donne lieu à une filtration de la cohomologie de X appellée filtration perverse. Les groupes de cohomologie de X sont munis d'une structure de Hodge et le but de l'exposé est de montrer que cette filtration est compatible avec la structure de Hodge. -
Adriano Marmora
Relations de Hodge--Riemann bilinéaire généralisées
21 décembre 2023 - 10:30Salle de séminaires IRMA
Dans le cas classique, sur la cohomologie d'une variete projective lisse munie d'une classe de cohomologie ample on a une forme bilineaire naturelle donnée par le cup produit avec la classe ample suivi de l'integration. On montre que sur les morceau primitifs de la cohomologie cette forme bilineaire est definie (de signe precis). Dans cet exposé nous montrerons une generalisation de ce theoreme au cas relatif, i.e., d'un morphisme X-->Y.
Le gradué de la filtration perverse est une structure de Hodge (d'apres l'exposé précédent) et nous montrerons qu'une certaine forme bilineaire naturelle associée a un fibre ample en bas et a un fibre relativement ample donne des polarisations. En explicitant ce que cela signifie sur chaque morceau primitif on obtient des analogues des relations de Hodge--Riemann classiques.