Séminaire Doctorants
organisé par l'équipe DOCT
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Samuel Lerbet
Des clôtures algébriques finies
11 janvier 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
Le corps C des nombres complexes est un corps contenant le corps R des nombres réels, obtenu à partir d'icelui en ajoutant une racine carrée de –1, et qui possède les propriétés suivantes : tout nombre complexe est solution d'une équation polynomiale à coefficients réels ; et C est algébriquement clos d'après un théorème topologico-analytique bien connu. En théorie des extensions de corps, on résume cette situation en disant que l'extension C/R est une clôture algébrique. Cette extension est en outre finie, c'est-à-dire que C est un R-espace vectoriel de dimension finie. Ce comportement est atypique : les clôtures algébriques sont génériquement infinies. Le théorème d'Artin–Schreier donne les contours de cette généricité : une clôture algébrique finie est triviale ou de la forme C/R où R est un corps réel clos, un type de corps ressemblant beaucoup au corps des nombres réels en un sens précis, et où C est obtenu à partir de R en ajoutant une racine carrée de –1. Dans cet exposé, nous nous donnons pour prétexte l'étude de ce joli énoncé pour introduire la théorie des corps ordonnés et la notion de corps réel clos. -
Adam Chalumeau
Ouverts propres quasi-homogènes de l'univers d'Einstein
18 janvier 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
Quels sont les domaines bornés $\Omega$ de $\mathbf{R}^n$ ayant un gros groupe d'automorphisme ? Par "groupe d'automorphisme", on entend groupe préservant une structure géométrique (telle qu'une distance, un volume, des angles, des droites, une structure complexe). Par "gros", on entend que l'action est quasi-homogène, c'est à dire qu'il existe un compact de $\Omega$ qui rencontre toutes les orbites. La réponse dépend grandement de la structure géométrique dont est muni $\Omega$. Dans certaines situations, on sait qu'il existe beaucoup d'exemples de domaines quasi-homogènes (notamment grâce à Koecher, Vinberg, Koszul, Benoist et Kapovich pour le géométrie projective). Cependant pour une grande famille de situations géométriques, Limbeek et Zimmer conjecturent qu'il y a très peu d'exemples. Je présenterai un tel résultat de rigidité lorsque la structure géométrique est la structure causale plate de $\mathbf{R}^n$ : tout domaine borné quasi-homogène sous l'action de son groupe conforme lorentzien est un diamant. Ceci est un travail en collaboration avec Blandine Galiay. -
Vincent Ferrari-Dominguez
La quantification de Weyl : un pont entre la mécanique classique et la mécanique quantique
25 janvier 2024 - 16:30Salle de séminaires IRMA
La quantification de Weyl est une transformation linéaire qui associe à une fonction définie sur l'espace des phases de la mécanique classique un opérateur sur l'espace Hilbert correspondant de la mécanique quantique. Elle est un outil central de la physique semiclassique car elle permet de 'quantifier' un système classique, de lui associer un équivalent quantique. L'objectif premier de cet exposé est d'expliquer la formule de cette transformation et certaines de ces propriétés. On commencera par présenter la formulation hamiltonienne (et même symplectique) de la mécanique classique puis la formulation de la mécanique quantique basée sur les fonctions d'ondes et l'équation de Schrödinger. On construira ensuite la quantification de Weyl et on présentera certaines de ces propriétés en analyse semiclassique. -
Claire Schnoebelen
Two examples of non-linear data reduction methods
1 février 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
Manifold learning, or non-linear data reduction, aims to project a data set given in a high-dimensional manifold on a low-dimensional submanifold. By doing this, we drastically reduce the number of coordinates we need to describe the data, which makes faster and easier its analysis and its treatment. In this talk, we will present two methods : Isomap and Eigenmap. The first one aims to preserve distances between the points in the data set while the last takes advantage of the information provided by the Laplace-Beltrami operator of the underlying manifold. We will also present an application of these methods in the framework of order reduction for PDEs with the example of Burgers equation. -
Alexandre Astruc
Combinatoire des tableaux, représentations des groupes symétriques
8 février 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
A classical problem in algebra (and mathematics in general) is to determine the smallest blocks from which a whole class of objects can be constructed. In this talk, we will explore the representation theory of symmetric groups. We will show that irreducible representations of S_n are indexed by partitions or Young tableaux, thus making the representation theory of S_n combinatorial in nature. If time allows for it, we will explore links with classical problems in enumerative geometry, namely, Hilbert's XVth problem, or Schubert Calculus. -
Amaury Belieres
Quelles méthodes numériques utiliser en optimisation de forme pour s'affranchir des problèmes de remaillage ?
15 février 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
En général, en optimisation de forme, on étudie des systèmes physiques gouvernés par une EDP.
Ensuite, on associe une quantité à la solution de l'EDP (une énergie par exemple) et on cherche un domaine dans lequel résoudre notre EDP qui nous permettrait de minimiser le critère associé à l'EDP (c'est ce domaine là que l'on appellera "forme optimale"). En général il y'a des contraintes sur la forme, par exemple on lui demande d'être d'un certain volume ou d'un certain périmètre.
Plusieurs questions sont alors soulevées à nouveau : Existe-t'il un tel domaine optimal ? Quelle régularité a t'il ? Et surtout : quelle méthode numérique implémenter pour obtenir une approximation numérique de la forme optimale ?
Dans ce séminaire les méthodes dites de "dérivée de forme" ont déjà été présentées plusieurs fois.
Le but de cet exposé est de présenter un autre type de méthode (optimisation par méthode des matériaux fictifs et par homogénéisation) qui permet de s'affranchir des problèmes de remaillage des méthodes classiques de dérivée de forme.
Le séminaire se finira par une présentation de GeSONN, un framework python qui résout des problème d'optimisation de forme par réseaux de neurones. -
Louise Martineau
Estimation de sous-variété, d’espace tangent, et de courbure
22 février 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
De nombreuses données peuvent être modélisées de la manière suivante : on suppose que l’on a un nuage de points aléatoires échantillonnés sur une sous-variété M de dimension d de R^D. On peut alors s’intéresser à retrouver des caractéristiques géométriques de cette sous-variété, afin d’obtenir des informations sur la forme intrinsèque de nos données. Dans cet exposé on se concentrera sur des méthodes d’estimation de la sous-variété M, des espaces tangents, et de la courbure, et on étudiera les vitesses de convergence associées. -
Roxana Sublet
SVM
29 février 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
Support Vector Machines (SVM) are a powerful class of machine learning algorithms used for classification. They work by finding the optimal hyperplane that separates different classes in the data space while maximizing the margin. This presentation aims to provide a clear and intuitive understanding of how SVM works, by constructing primal and dual problem in the case of linear separable data. Then we will discuss about a generalisation for more complex problem. We are going to see some applications of this method on concrete cases. -
Guillaume Steimer
Réduction de modèle symplectique
14 mars 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
Beaucoup de modèles mathématiques de processus concrets posent des problèmes en simulation numérique du fait de leur grande dimension et de leur complexité. De la météo à l'aéronautique, en passant par la fusion nucléaire, ces modèles numériques sont très coûteux (en temps, en ressources de calcul) à résoudre. Ceci est particulièrement problématique lorsque l'on a besoin de les résoudre de nombreuses fois (algorithmes d'optimisation…) ou en temps réel (processus de contrôle…). Ainsi, on peut développer des modèles réduits dont la résolution est très rapide et au prix d'une certaine précision vis-à-vis du modèle complet. Aussi, lorsque ces modèles sont Hamiltoniens, il est important de préserver cette structure dans le modèle réduit. Je vous propose de découvrir les bases de la réduction de modèles dite symplectique : projection de Galerkin symplectique, approximations linéaires… Nous nous concentrerons sur l'utilisation des réseaux de neurones pour construire des modèles réduits et appliquerons notre méthode sur des modèles plus modestes que ceux susmentionnés. -
Jean-Pierre Noot
Détection de rupture
21 mars 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
En statistique, la détection de ruptures (change-point detection) a pour but d'estimer les instants où un signal présente des changements dans la distribution. Plus généralement, la détection de ruptures comprend également la détection des comportements anormaux: la détection des anomalies. Présentation des méthodes classiques de détection de ruptures en particulier CUMSUM (cumulative sum). Enfin, exemples de détection de ruptures appliquée aux données LIEBHERR. -
Killian Vuillemot
A new unfitted finite element method: $\phi$-FEM
4 avril 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
$\phi$-FEM is a new finite element method, proposed to solve partial differential equations on complex domains, using simple non conform meshes. The method relies on the use of a level-set function $\phi$, which defines the domain and its boundary. In this presentation, I will introduce the method in the simple case of the resolution of the Poisson equation with Dirichlet boundary conditions. Then I will present the extension of the method to the case of time-dependent PDE's, and more precisely the case of the Heat equation with Dirichlet boundary conditions. Then, I will present a way to combine $\phi$-FEM and neural networks. This method, called $\phi$-FEM-FNO, has been introduced to achieve the resolution of multiple physics problems with good accuracy in real time. I will illustrate the interest of this approach with numerical results on two test cases solving the Poisson-Dirichlet equation on different types of shapes. -
Paul Laubie
Donnez-moi un foncteur pour compter des arbres
11 avril 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
Pourquoi considérer des catégories alors que tout marche si bien avec des ensembles? Nous verrons comment la théorie des catégories permet la construction d'un langage bien adapté à la combinatoire : la théorie des espèces. Nous appliquerons enfin cette théorie à une question moins triviale qu'il n'y paraît : Combien il y a-t-il d'arbres dont les sommets sont {1,...,n}? -
Thomas Agugliaro
Des statistiques en arithmétique
18 avril 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
Certains phénomènes en arithmétique sont trop chaotiques pour être décrits exactement. C'est dans ce contexte qu'il est intéressant de s'intéresser au comportement en moyenne, pour pouvoir avoir des résultats généraux. On s'intéressera d'abord à quelques heuristiques pour justifier des conjectures célèbres de théorie des nombres, en modélisant les entiers par des variables aléatoires. Ensuite, on verra que le comportement du nombre de solutions d'équations diophantiennes de la forme y²=x^3 + x + 1 dans des corps finis de plus en plus gros suit une loi déterministe continue simple à décrire. -
Ulysse Remfort
Une introduction au groupe de Thompson F
25 avril 2024 - 16:30Salle de conférences IRMA
Le groupe de Thompson F est un sous-groupe du groupe des homéomorphismes linéaires par morceaux de l'intervalle [0,1] qui possède des propriétés remarquables qui en font un groupe très étudié en théorie géométrique des groupes. Après avoir donné la définition classique (analytique) du groupe de Thompson F, je donnerai une interprétation plus combinatoire de ce groupe à l'aide d'arbres binaires et utiliserai cette approche pour montrer que F est de type fini.