Séminaire Sem in
organisé par l'équipe Géométrie
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Hubert Rubenthaler
Les fonctions zeta locales: de la thèse de Tate aux espaces symétriques
6 février 2025 - 09:00Salle de séminaires IRMA
La fonction zeta locale la plus élémentaire est la fonction $s\longmapsto \frac{1}{1-p^{-s}}$ où $s\in\C$ et où $p$ est un nombre premier. On reconnaît évidemment là les facteurs qui apparaissent dans l'expresssion de la fonction $\zeta $ de Riemann en produit infini. Dans sa thèse (1950) John Tate a généralisé cette fonction en une ``fonction zeta locale" qui est une distribution sur le corps des nombres p-adiques $\Q_{p}$ (ou $\R$) d\'ependant d'un paramètre complexe $s$ et d'un caractère de $\Q_{p}^*$ ($\R^*$). Cette fonction zeta vérifie une équation fonctionnelle qui traduit une relation surprenante entre transformée de Fourier additive (sur $\Q_{p}$) et multiplicative (sur $\Q_{p}^*$). Par la suite, dans un exposé au séminaire Bourbaki en 1966, André Weil a re-interprété l'équation fonctionnelle de Tate en terme d'unicité de distributions homogènes et suggéra une généralisation de la situation ($\Q_{p}^*=GL_{1}(\Q_{p}), \Q_{p}$) (cas de Tate) à ($GL_{n}(\Q_{p}),M_{n}(\Q_{p})$) Cette généralisation a été obtenue, dans un cadre plus large que ne le suggérait Weil, par Godement et Jacquet, en 1972. En faisant intervenir la théorie des espaces préhomogènes, Pascale Harinck et moi-même avons étendu (partiellement) les résultats de Godement et Jacquet à certains espaces symétriques (i.e $\Omega=G/H$ où $G$ est un groupe réductif et $H$ les points fixes d'une involution). Note: Aucun pré-requis concernant les corps p-adiques n'est nécessaire. -
Pierre-Louis Blayac
TBA
13 février 2025 - 09:00A confirmer