Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Lors de cet exposé, je présenterai des résultats récents obtenus en collaboration avec Debayan Maity concernant l'interaction entre un solide rigide et un fluide visqueux compressible dans un domaine extérieur. Notre analyse porte sur l'existence de solutions fortes et leur comportement asymptotique en temps long. En combinant un changement de variables approprié avec des estimations de décroissance $L_p-L_q$, nous établissons le caractère bien posé global du système couplé pour des données initiales petites. Dans cette démonstration, nous obtenons un taux de décroissance pour les vitesses du fluide et du solide lorsque $t \to \infty$, qui nous permet en particulier de montrer que le solide rigide tend vers une position finale.

Résumé : Double shuffle and regularization relations is a distinguished set of relations among multiple zeta values. Consider those relations formally, G. Racinet introduced the double shuffle Lie algebra (dmr). The Kashiwara-Vergne Lie algebra (krv) was introduced by A. Alekseev and C. Torossian when they reproved the Kashiwara-Vergne conjecture using Drinfeld associators. In this talk, I will present a topological characterization of the skew symmetric part of dmr and symmetric krv. As an application, we prove the inclusion of skew-symmetric part of dmr with IHX relations to symmetric krv. It is based on the preprints: 2509.20275, arXiv:2601.19455 with collaborators and some ongoing work.

Résumé : Dans cet exposé, je vous propose de partir à la découverte du jeu de Hex, un jeu de plateau à cases hexagonales pour 2 joueurs, dont la richesse mathématique n’a d’égale que sa simplicité. La première apparition du jeu de Hex revient à Piet Hein en 1942, puis il sera redécouvert de manière indépendante en 1948 par John Nash, qui en étudiera la mathématique. Après avoir présenté les règles, nous répondrons à plusieurs questions : Existe-t-il une stratégie gagnante ? Si oui, pour quel joueur ? Peut-il y avoir égalité ? Existe-t-il une configuration où les deux joueurs sont gagnants en même temps ? Toutes ces réponses nous permettront de nous servir du jeu pour démontrer un célèbre théorème de topologie : le théorème de Brouwer.

Résumé : Consider the eigenvalue problem for the discrete Laplacian on finite regular graphs. One can relate three types of phase space distributions associated to the resulting eigenfunctions, namely Patterson–Sullivan, invariant Ruelle, and Wigner distributions. It has been shown that, on hyperbolic surfaces, these three phase-space distributions are asymptotically equivalent, naturally raising the question of whether a similar relationship holds for finite graphs. In this talk, I will show how discrete analogues of these distributions can be defined and how they relate to each other.

Résumé : Let A be an abelian variety defined over a number field k. The connected monodromy field k(eA) is the minimal extension of k over which every \ell-adic Galois representation attached to A has connected image, or equivalently, the minimal extension over which all Tate classes on all self-products A^r are defined. When k(eA)/k(End A) has positive degree, "exotic" Tate classes arise on certain powers A^r — classes not explained by the endomorphism algebra alone. I will explain how to compute k(eA) when A is the Jacobian of a curve with complex multiplication. We will exploit CM theory to describe the algebra of Tate classes and make the Galois action on this algebra explicit in terms of periods — suitable integrals of algebraic differential forms. Though periods are generally transcendental, those attached to Tate classes are algebraic, so computing k(eA) reduces to identifying these periods as exact algebraic numbers.

Résumé : Persistent homology is a field that has emerged in data analysis over the past two decades. Its primary goal is to recover the topology of a point cloud. In this talk, we explore the applications of persistent homology to another type of data that is ubiquitous in neuroscience : spike trains. A spike train is a collection of binary time series corresponding to neuronal activity. We define the persistent homology of a spike train via a filtration based on the frequencies of cofiring neurons, and we explore the performance of this method with both simulated and real data.