Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Un espace vectoriel de Tate est un espace vectoriel localement compact pour une topologie linéaire (le corps de base est considéré comme discret). Étudiés pour la première fois par Lefschetz, qui en fait un usage systématique dans son livre “Topologie algébrique” (1942), ils sont tombés dans l’oubli pour être par la suite redécouverts par Tate à la fin des années 60. Leur qualité première est de bénéficier d’une bonne théorie de dualité, analogue à celle de Pontriaguine pour les groupes abéliens localement compacts. Je raconterai comment j’en suis arrivé à les utiliser dans mon travail : une petite histoire qui mêle topologie générale, topologie algébrique et topologie symplectique.

Résumé : The tube of radius r around a submanifold is the set of all points within distance r of the submanifold. In this talk, we discuss the volume of a tube around a submanifold in sub-Riemannian geometry. Firstly, we show that the volume of the tube around a non-characteristic submanifold of class $C^2$ is either smooth or real-analytic for small radii, depending on the regularity of the underlying manifold, and we establish a Weyl's tube formula. Secondly, we investigate Weyl's invariance theorem in sub-Riemannian geometry: we show that two curves in the Heisenberg group with the same Reeb angle have the same Weyl's tube formula. This is a joint work with T. Bossio and L. Rizzi.

Résumé : I will present a notion of unipotent homotopy theory for schemes, which is based on Toën's work on affine stacks. After discussing some general properties of the resulting unipotent homotopy group schemes, I will explain how over a field of characteristic p>0, they often recover the unipotent completion of the Nori fundamental group scheme, p-adic etale homotopy groups, and Artin-Mazur formal groups. As examples, we will see computations in the case of curves, abelian varieties, and Calabi-Yau varieties. Joint work with Shubhodip Mondal.

Résumé : I will present dessins d'enfants from a number theory point of view. I will dwelve a little bit into the history of mathematics regarding foundational arguments for the existence of certain numbers and what it says about our understanding of them in particular their Galois theory.

Résumé : Étant donné un groupe abélien G, un coin est un sous-ensemble de paires de la forme (x, y), (x+d, y) et (x, y+d) pour un d non-nul. Ajtai et Szemerédi montrèrent que, de façon asymptotique, si G=Z/NZ est le groupe cyclique à N éléments, toute sous-partie dense S de GxG contient un coin. Shkredov donna une borne inférieure quantitative à la densité relative de l’ensemble S pour certains groupes abéliens. Dans cet exposé, nous expliquerons comment des conditions supplémentaires sur l’ensemble S, comme la stabilité au sens modèle-théorique, donnent l’existence des coins et d’autres configurations combinatoires pour tout groupe (pseudo)-fini. Cet exposé ne présupposera pas une connaissance au préalable de la logique mathématique.