Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : La stabilisation frontière des membranes, plaques et corps vibrants est un problème de grande importance pour les ingénieurs et les mathématiciens appliquées, initié par David L. Russell dans les années 1970.

Grâce à la méthode des multiplicateurs, développée par L. F. Ho et Jacques-Louis Lions dans les années 1980, des résultats profonds peuvent être obtenus par une approche élégante, facilement accessibles aussi aux non-spécialistes.

Notre exposé est aussi un hommage à David L. Russell, un mathématicien distingué et une personne extrêmement humaine, disparu il y a dix ans.

Résumé : We are interested in semiclassical operators, which are operators depending on a small parameter $h$, in particular on their eigenvalues. Actually, eigenvalues are the poles of the resolvent, and for self-adjoint operators, the norm of the resolvent at a number $E$ is equal to the inverse of the distance from $E$ to the spectrum. Hence, finding quasimodes, that is eigenfunctions up to a small remainder with respect to $h$: $P_{\hbar}u_{\hbar}=Eu_{\hbar}+O(\hbar^k)$, gives eigenvalues up to a small remainder too. Although, it is no longer true for non self-adjoint operators. Fortunately, it is still possible to get information from exponentially close quasimodes $P_{\hbar}u_{\hbar}=Eu_{\hbar}+O(e^{-\frac{c}{\hbar})$. In this presentation, I will present the framework I use for this study: Toeplitz operators, which is convenient as the state functions are defined directly on the phase space. Then I will present the method to reduce the problem to a reference operator, near an elliptic critical point of the symbol. This method use Fourier integral operators, and symbolic calculus on Toeplitz operators, with the specificity that all the data have to be analytic.

Résumé : Soit X une variété propre et lisse sur une extension finie de Q_p avec bonne réduction. Sous une hypothèse faible sur les nombres de Hodge de la réduction de X, nous montrons que l'existence d'une 2-forme globale non nulle sur X implique l'existence, sur une extension finie, de classes de Brauer dont l'application d'évaluation n'est pas constante. En particulier, une variété propre et lisse sur un corps de nombres vérifiant l'approximation faible sur toutes les extensions finies n'a pas de 2-forme globale non nulle. La preuve est basée sur une interprétation prismatique des classes de Brauer avec application d'évaluation géométriquement constante, et sur un résultat de Newton-au-dessus-de-Hodge pour la réduction modulo p de la cohomologie prismatique. Travail en commun avec Margherita Pagano et Rachel Newton

Résumé : An algebraic variety is an object that is defined by the zeroes of a set of polynomials. If the coefficients of those polynomials lie in a field L, we say that the algebraic variety is defined over L. It can be interesting to know if our variety can, in fact, be defined by polynomials with coefficients in a subfield K of L ; if that is the case, we say that the variety descends on K. In this talk I am going to explain some results concerning such questions in the case of an abelian variety.

Résumé : TBA