Séminaire Analyse
organisé par l'équipe Analyse
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Loïc Teyssier
Formes normales analytiques des selles résonnantes planaires et des difféomorphismes paraboliques de la droite complexe
26 janvier 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
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Francesco Paolo Gallinaro
Exponential Sums Equations and Tropical Geometry
2 février 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
The Exponential-Algebraic Closedness Conjecture, due to Zilber, predicts sufficient conditions for systems of equations involving polynomials and exponentials to be solvable in the complex numbers; it is formulated geometrically, asking about the intersections between complex algebraic varieties and (Cartesian powers of) the graph of the exponential function. The conjecture originated from model theory, and it would imply a strong tameness result for subsets of the complex numbers that are definable using polynomials and exponentials. In this talk, we will briefly recall the motivation of this question and then focus on the case of varieties which split as the product of a linear space and an algebraic subvariety of the multiplicative group. These varieties correspond to systems of exponential sums equations, and the proof that the conjecture holds in this case uses tropical geometry and the theory of toric varieties. -
Alexandre Goyer
Certification seminumérique de la minimalité d'une équation différentielle
9 février 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
À l'instar du groupe de Galois classique d'un polynôme, on peut définir le groupe de Galois d'une équation différentielle linéaire ordinaire (EDLO) [1]. Il existe un algorithme théorique pour le calculer [2] mais celui-ci semble trop compliqué et trop lent pour envisager un effort d'implémentation. Pourtant, l'évaluation numérique des solutions de l'équation fournit un moyen efficace d'approcher numériquement des éléments de ce groupe. Dans ce contexte, je montrerai comment exploiter cette approximation pour répondre efficacement à la question suivante : étant données une EDLO d'ordre r et une fonction solution, comment déterminer si cette fonction satisfait une EDLO d'ordre < r ? On parle d'approche seminumérique car on s'autorise des calculs numériques approchés bien que l'on souhaite un résultat exact. Si le temps le permet, nous aborderons d'autres problèmes liés : la réductibilité d'une EDLO et l'algébricité des solutions d'une EDLO. Travail en commun avec Frédéric Chyzak et Marc Mezzarobba, en s'appuyant sur les idées de [3]. Références : [1] Introduction to the Galois Theory of Linear Differential Equations, M. F. Singer, 2007 ; [2] Computing the Galois Group of a Linear Differential Equation, E. Hrushovski, 2002 ; [3] Around the Numeric-Symbolic Computation of Differential Galois Groups, J. van der Hoeven, 2007 -
Simon Becker
TBA
9 mars 2023 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Blagoje Oblak
Adiabatic Quantomorphisms of Quantum Hall Droplets
16 mars 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
The study of two-dimensional droplets of electrons in a strong magnetic field lies at the heart of the quantum Hall effect. In this talk, I present recent results on area-preserving deformations of such droplets, implemented through unitary "quantomorphisms" that appear in geometric quantization. Time-dependent deformations of this kind give rise to Berry phases that can remarkably be written in closed form despite the fact that the underlying parameter space is infinite-dimensional. In particular, I argue that a large class of deformations that generalize squeezing and shearing probe the edge modes of the system and provide a bulk-edge correspondence for Hall viscosity. (Based on 2212.12935) -
Yuhao Xue
Prime geodesic theorem and closed geodesics for random hyperbolic surfaces
23 mars 2023 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The prime geodesic theorem counts the number of primitive closed geodesics of length $\leq L$ on a closed hyperbolic surface $X$. The error term is best known as $O_X(e^{\frac{3}{4}L}/L)$ as $L\to\infty$, but is not clear how it depends on $X$. In this talk, we will show that the error term is $O(g\cdot e^{\frac{3}{4}L}/L)$ for genus $g$ random hyperbolic surfaces of Weil-Petersson model. And as an application, we will show that for random hyperbolic surfaces most closed geodesics of length $\ll\sqrt{g}$ are simple and non-separating, and most closed geodesics of length $\gg\sqrt{g}$ are non-simple, which confirms a conjecture of Lipnowski-Wright. -
Andreas Nessmann
Fonctions polyharmoniques dans le quart de plan
13 avril 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
Le but de cet exposé sera de donner une introduction aux fonctions polyharmoniques discrètes dans le quart de plan. Je commencerai par le problème combinatoire qui était le point de départ de l’étude de ces fonctions; c’est à dire un problème du comptage des chemins. Ensuite, je vais parler sur quelques propriétés basiques de fonctions polyharmoniques, et donner un aperçu sur les méthodes pour les calculer. Finalement, je vais mentionner quelques questions ouvertes. Vu que ces fonctions peuvent être considérées comme une discretisation naturelle des fonctions polyharmoniques continues (qui sont beaucoup plus étudiées), je vais essayer de montrer les liens entre le cas discret et le cas continu et indiquer leurs similarités le plus possible. -
Nguyen Viet Dang
Mesure $\Phi^4_3$ sur les 3-variétés compactes
4 mai 2023 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Je vais vous parler d'un travail que nous venons de terminer avec Bailleul, Ferdinand et To. Nous construisons une théorie quantique des champs sur des 3-variétés compactes comme mesure de Gibbs invariante d'une dynamique en dimension infinie décrite par une EDP stochastique. Je vais chercher à motiver l'approche et à faire pleins d'exemples.
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Alain Joye
Adiabatic Lindbladian Evolution with Small Dissipators
25 mai 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
We consider a time-dependent small quantum system weakly coupled to an environment, whose effective dynamics we address by means of a Lindblad equation. We assume the Hamiltonian part of the Lindbladian is slowly varying in time and the dissipator part has small amplitude. We study the properties of the evolved state of the small system as the adiabatic parameter and coupling constant both go to zero, in various asymptotic regimes. -
Raphaël Côte
Perturbation à l'explosion des solutions autosimilaires de l'équation de Korteweg-de Vries modifiée
1 juin 2023 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Jacob Shapiro
Classification of strongly-disordered topological insulators
8 juin 2023 - 11:00Salle de séminaires IRMA
In this talk I will describe some of the mathematical aspects of strongly-disordered topological insulators. These are novel materials which insulate in their bulk but (may) conduct along their edge; the quintessential example is that of the integer quantum Hall effect. What characterizes these materials is the existence of a topological index, experimentally measurable and macroscopically quantized. Mathematically this is explained by applying algebraic topology to the space of appropriate quantum mechanical Hamiltonians. I will survey some recent results mainly concentrating on the classification problem in one dimension. -
Michael Hitrik
Semiclassical asymptotics for Bergman projections: from smooth to analytic
12 octobre 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
Abstract: The semiclassical analysis of Bergman kernels is a multifaceted subject, with applications to physics, complex analysis, and geometry. Locally, the study of Bergman kernels can often be reduced to the analysis of the orthogonal projection onto an exponentially weighted space of holomorphic functions on some complex domain from the ambient weighted L^2-space, and in this talk, we shall be concerned with the semiclassical asymptotics for Bergman kernels in this setting. We shall discuss a direct approach to the construction of asymptotic Bergman projections, developed with A. Deleporte and J. Sjöstrand in the case of real analytic exponential weights, and with M. Stone in the case of smooth weights. The direct approach avoids the use of the Kuranishi trick and allows us, in particular, to give a simple proof of a result due to O. Rouby, J. Sjöstrand, S. Vu Ngoc, and to A. Deleporte, stating that, in the analytic case, the Bergman projection can be described up to an exponentially small error. -
Loïc Teyssier
Les boucles homoclines des selles 1:1 se plongent dans C²
26 octobre 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
(travail en commun avec M. Resman - Zagreb) Nous partons de la classification locale des boucles homoclines dans les surfaces complexes feuilletées (2020, avec D. Panazzolo), et montrons comment obtenir des formes normales qui permettent de réaliser concrètement ces boucles dans un ouvert du plan complexe. C'est un résultat de nature nécessairement locale au voisinage de la boucle homocline, car toutes les courbes algébriques ne se plongent pas dans C². -
Nalini Anantharaman
Trou spectral des surfaces hyperboliques aléatoires
9 novembre 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
On s'intéresse au spectre du laplacien d'une surface hyperbolique compacte aléatoire, dans la limite où le genre tend vers l'infini. A partir de la formule de traces de Selberg, je présenterai des techniques développées avec Laura Monk pour étudier la première valeur propre du laplacien et démontrer que le trou spectral est > 1/4 -\epsilon, avec grande probabilité. -
Domagoj Vlah
A deep learning approach to heuristic detection of high rank elliptic curves
16 novembre 2023 - 09:00Salle de séminaires IRMA
Résumé:
The seminar talk will present an example of one application of deep learning
in number theory, hopefully providing incentive for exploring the possibility
of using deep learning in some other areas of theoretical mathematics.
We investigate a novel possibility for heuristic computation of the rank of
elliptic curves over $\mathbb{Q}$, as exact rank computation is
algorithmically very expensive. We develop a deep learning model for
classification of a given set of elliptic curves by rank. The model is based on
convolutional neural network (CNN) architecture. It takes as an input the
conductor of an elliptic curve together with the sequence of $a_p$-s in a fixed
range, both of which are relatively fast to compute for a given curve. For
training we use either curves from standard LMFDB elliptic curve database or
custom generated curves having conductors up to $10^{30}$ and ranks up to
$10$. For the baseline we develop and train simple neural network classifiers,
involving as an input only computed values of different Mestre-Nagao-like sums
and conductors thus mimicking the usual heuristic approach. We compare our CNN
model performance to the Mestre-Nagao-like sums baseline.
Our CNN approach greatly outperforms baseline models for LMFDB dataset. For
our custom generated dataset CNN and baseline models have similar performance.
Interestingly, contrary to using Mestre-Nagao-like sums, CNN model achieved
near perfect classification of the LMFDB dataset when using $a_p$-s in the
highest considered range of $p<10^5$, providing statistical evidence for
possible formulation of new conjectures. Also, we think that this new method
could probably help in finding record breaking curves of high rank.
This is a joint work with Matija Kazalicki from University of Zagreb.
Kazalicki, M., Vlah, D. Ranks of elliptic curves and deep neural networks.
\emph{Res. number theory} \textbf{9}, 53 (2023). https://doi.org/10.1007/
s40993-023-00462-w -
Izak Oltman
A probabilistic Weyl law for perturbed Berezin--Toeplitz operators
16 novembre 2023 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Abstract: I will discuss a result describing the spectrum of randomly perturbed Berezin--Toeplitz operators, which generalizes a result of Martin Vogel from 2020 about quantizations of the torus. I will briefly discuss similar spectral results regarding randomly perturbed non-self-adjoint operators. Then I will explain how to construct Berezin--Toeplitz operators (which are quantizations of smooth functions on compact Kähler manifolds). Finally, I will discuss the main idea of proving a Weyl law, which requires constructing an exotic calculus of Berezin--Toeplitz operators. -
Camilo Sanabria Malagon
Équations différentielles ordinaires linéaires à solutions algébriques
23 novembre 2023 - 11:00Salle de conférences IRMA
Soit G⊆SL2(C) un groupe primitif fini. D’après un résultat classique de Klein, il existe une équation hypergéométrique telle que toute équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre, dont le groupe de Galois différentiel est G, est projectivement équivalente à un relèvement par une fonction rationnelle de cette équation hypergéométrique. Dans cet exposé, je présenterai la généralisation suivante. Soit G⊆SLn(C) un groupe primitif fini. Alors, il existe un entier positif d=d(G) et une équation standard tels que toute équation différentielle ordinaire linéaire, dont le groupe de Galois différentiel est G, est, sur une extension de corp de degré d, projectivement équivalente, à transformation de jauge près, à un relèvement de cette équation standard. Pour n=3, les équations standards peuvent être choisies de manière à ce qu’elles soient hypergéométriques. Des implémentations du résultat de Klein existent. Si le temps le permet, je montrerai comment les propriétés des invariants des sous-groupes primitifs de SL3(C) peuvent être exploitées pour viser une implémentation efficace de cette généralisation pour n=3.