Séminaire Analyse
organisé par l'équipe Analyse
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Laurent Charles
Résolvantes des Laplaciens magnétiques et opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques de Heisenberg
18 janvier 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
On s'intéresse à des opérateurs de Schrödinger sur une variété compacte avec un champ magnétique non dégénéré, ou du point de vue de la géométrie différentielle à des Laplaciens de Bochner agissant sur un fibré en droite et associé à une connexion de courbure non-dégénérée, typiquement le Laplacien d'un fibré holomorphe positif. On comprend relativement bien le bas du spectre de ces opérateurs dans la limite où le champ (la courbure de la connexion) est grand. Je rappellerai ces résultats et présenterai une classe d'opérateurs pseudodifférentiels qui contient les résolvantes de ces opérateurs et certains projecteurs spectraux associés à des clusters de valeurs propres. -
Nikhil Savale
Bochner Laplacians and Bergman kernels for families
1 février 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
We generalize earlier joint results with Marinescu to families of Bochner Laplacians. This particularly leads to the fiberwise expansion for families Bergman kernels of horizontally semi-positive index bundles. The proof uses Ma-Zhang's description for the curvature of the index bundle as a fiberwise Toeplitz operator. Based on joint work with X. Ma and G. Marinescu.
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Colin Guillarmou
Construction probabiliste de deux théories des champs conformes
8 février 2024 - 11:00Salle de séminaires 309
Nous expliquerons comment construire par les probabilités deux théories de Liouville. La première est une théorie « non-compacte » avec charge centrale c>25 et spectre continu, appelèe Liouville réelle, la seconde est une théorie à spectre discret et charge centrale rationnelle c<1, appelée Liouville imaginaire compacte, en principe liée aux limites d’échelles de modèles de physique statistiques (modèles minimaux). Pour Liouville réel, on mentionnera les avancées sur la résolution de cette théorie, i.e. l’obtention de formule exacte pour les corrélations et l’intégralité sous-jacente. Le séminaire aura lieu exceptionellement dans la salle 309 à l'UFR -
Maxime Ingremeau
Une approche microlocale à la résolution numérique de l’équation de Helmholtz
15 février 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Résumé: L’équation de Helmholtz, décrivant les ondes dans un régime stationnaire, est très couteuse à résoudre numériquement lorsque la fréquence est élevée. En effet, dans la plupart des approches numériques (comme celle des éléments finis), le nombre de degrés de liberté augmente rapidement avec la fréquence. Nous verrons comment des considérations d’analyse harmonique et d’analyse semiclassique permettent de réduire grandement ce nombre de degrés de liberté. Il s’agit d’un travail en commun avec Théophile Chaumont-Frelet et Victorita Dolean. -
Ood Shabtai
Off-diagonal estimates of partial Bergman kernels on $S^1$-symmetric K\"{a}hler manifolds
22 février 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
We establish local asymptotic estimates of partial Bergman kernels on closed $S^1$-symmetric K\"{a}hler manifolds. The main result addresses the scaling asymptotics of partial Bergman kernels at generic off-diagonal points in which they are not negligible. The example of the two-dimensional sphere will be discussed in detail. -
Shu Shen
Conjecture de Fried pour des fibrés admissibles
21 mars 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Abstract : La relation entre le spectre du laplacien et les géodésiques fermées sur une variété riemannienne compacte est l'un des thèmes centraux de la géométrie différentielle. Fried a conjecturé que la torsion analytique, qui est un produit alterné de déterminants régularisés des laplaciens, est égale à la valeur en zéro de la fonction zêta dynamique. Dans cet exposé, je montrerai la conjecture de Fried sur des espaces localement symétriques tordus par un fibré vectoriel plat acyclique obtenu par une représentation du groupe de Lie sous-jacent. Cela généralise les résultats de moi-même pour les fibrés unitaires, et les résultats de Brocker, Muller et Wotzker sur les variétés hyperboliques. -
Laurent Thomann
Sur l'équation du plus bas niveau de Landau dans des contextes périodiques
28 mars 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Nous étudions l'équation de plus bas niveau de Landau (LLL) définie dans des bandes ou dans des réseaux. Dans un premier temps, nous montrons que l'équation est bien posée et établissons l'existence de solutions stationnaires. Dans un second temps, nous étudions la stabilité linéaire d'une solution stationnaire sur un réseau. Nous verrons comment le réseau (hexagonal) d'Abrikosov joue un rôle particulier. Ce travail est réalisé en collaboration avec Pierre Germain (Imperial College London) et Valentin Schwinte (Université de Lorraine). -
Maja Resman
Analytic invariants of parabolic germs from their orbits
4 avril 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
This is joint work with Martin Klimes, Pavao Mardesic (University of Burgundy, France) and Goran Radunovic (University of Zagreb, Croatia), based on [KMRR]. The moduli of analytic classification of parabolic germs of diffeomorphisms, germified at a parabolic fixed point, are given by a finite number of diffeomorphisms, called the Horn- maps (Écalle, Voronin). We read the analytic invariants by fractal analysis of one orbit (i.e. one realization) of a diffeomorphism. The object that we study is the so-called theta function of one orbit, which, in the case of real orbits considered as fractal strings (introduced by Lapidus), is closely related to their fractal theta function. The fractal theta function of a fractal string is inspired by and generalizes the geometric zeta function of a fractal string (Lapidus). Standardly, fractal zeta functions talk about the geometry of a fractal string, its first singularity being the box dimension of the string. We show how to read the analytic class analysing the singularities of the theta function of one orbit in the integral plane. [KMRR] Klimes, M., Mardesic, P., Radunovic, G., Resman, M., Analytic invariants of a parabolic diffeomorphism from its orbit , accepted for publication in Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze (2023), https://arxiv.org/pdf/2112.14324.pdf -
Jean-Claude Saut
Autour des systèmes de Boussinesq
11 avril 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
On fera le point sur l'histoire, les résultats connus et les questions ouvertes, autour de systèmes pour la première fois obtenus par Joseph Boussinesq modélisant la propagation d'ondes faiblement non linéaire -
Liu Mingkun
Random multi-geodesics on hyperbolic surfaces of large genus
25 avril 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
On a hyperbolic surface, a closed geodesic is said to be simple if it does not intersect itself, and a multi-geodesic is a disjoint union of simple closed geodesics. In this talk, I will explain how to pick a random multi-geodesic, and present an attempt to answer the following question: What does a random multi-geodesic on a hyperbolic surface of large genus look like?
We will see that it looks like a random permutation, and in particular, the average lengths of its first three largest connected components are approximately, 75.8%, 17.1%, and 4.9%, respectively, of the total length.
This is joint work with Vincent Delecroix. -
Gaetan Leclerc
Fourier dimension an dynamical fractals
16 mai 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Abstract: Consider the triadic Cantor set equipped with the Cantor law. It happens that its cumulative distribution function, the devil’s staircase, is Hölder regular, and its best exponent of regularity is ln(2)/ ln(3), which is exactly the Hausdorff dimension of the Cantor set. Moreover, one can show that the Fourier transform of the Cantor law decay like |ξ|^{− ln 2/ ln 3} “on average”. This is no coincidence, and hint for a deeper link between Fractal Geometry and Fourier Analysis. In this talk we will detail and explore this link through the notion of Fourier Dimension. We will introduce the Fourier dimension, compute it on some easy examples, quote some natural questions that arise, and then discuss a (partial) state of the art on the topic. -
Yohann Genzmer
Algébrisation des fonctions méromorphes
30 mai 2024 - 10:50Salle de séminaires IRMA
Dans un travail en commun avec Rogerio Mol, nous montrons qu'un
résultat de Cerveau-Mattei, à savoir celui selon lequel tout germe de
fonction holomorphe en deux variables est "algébrisable", se prolonge
dans une certaine mesure à la catégorie des fonctions méromorphes. -
Theo Mckenzie
Optimal Spectral Rigidity for Random Regular Graphs
20 juin 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Abstract: Random d-regular graphs form a ubiquitous model for chaotic systems. However, the spectral properties of their adjacency matrices have proven difficult to analyze because of the strong dependence between different entries. In this talk, I will describe recent work that shows that despite this, the fluctuation of eigenvalues of the adjacency matrix are of the same order as for Gaussian matrices. This gives an optimal error term for Friedman's theorem that the second eigenvalue of the adjacency matrix of a random regular graph converges to the spectral radius of an infinite regular tree. Crucial is tight analysis of the Green’s function of the adjacency operator and an analysis of the change of the Green's function after a random edge switch. This is joint work with Jiaoyang Huang and Horng-Tzer Yau. -
Michele Ancona
Aspects métriques et spectraux des courbes planes aléatoires
27 juin 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d'un polynôme homogène en trois variables. Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini- Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet. -
San Vu Ngoc
Microlocal analysis of strong magnetic fields, from magnetic bottles to edge states
9 juillet 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Abstract: I will talk about joint works with Rayan Fahs, Loïc Le Treust, Léo Morin, and Nicolas Raymond. The goal is the spectral study of purely magnetic Schrödinger operators in dimension 2, in the limit of large fields (which is transformed into a semiclassical limit). Quite often, a precise geometric and microlocal analysis (of "normal forms") gives a way to reduce the problem to an effective 1D operator. I will present two very different situations: 1) the case of the confinement of classical and quantum particles by a variable magnetic field; 2) the appearance of edge states on bounded domains in the plane, with constant magnetic field. In both cases we obtain spectral asymptotics with two or more terms, for Weyl formulas but also for the precise individual descriptions of a large number of eigenvalues, and their relation with the famous "Landau levels". -
Maja Resman
RIGIDITY OF SADDLE LOOPS
12 septembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
We define an abstract complex saddle loop in C² as a pair (F , R) of a hyperbolic saddle foliation F (with a corner map D) and a regular map R ∈ Diff(C, 0). Up to an appropriate equivalence relation, the first return map is given by F = R ◦ D on a standard quadratic domain. We show that such first return maps are rigid, in the sense that their non-ramified formal conjugacy implies the non-ramified analytic conjugacy. This is joint work with D. Panazzolo and L.Teyssier. -
Ngoc Nhi Nguyen
Estimées L^p sur des variétés compactes avec métriques non lisses
19 septembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Résumé : Dans cet exposé, on s'intéresse à des inégalités fonctionnelles pour les systèmes de fonctions orthonormées en norme L^p. Le défi majeur consiste à prouver une dépendance optimale sur le nombre de fonctions impliquées. Nous nous concentrerons sur une famille d'inégalités appelées estimées « spectral cluster », qui concernent les combinaisons linéaires de fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés riemanniennes compactes. Une version a été établie par R. Frank et J. Sabin dans le cadre de métriques lisses, généralisant les travaux fondateurs de Sogge des années 80. Nous verrons comment prouver de telles estimées en plus basse régularité. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jean-Claude Cuenin (Loughborough University) -
Guillaume Baverez
Uniqueness of Malliavin-Kontsevich-Suhov measures
26 septembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Abstract: About 20 years ago, Kontsevich & Suhov conjectured the existence and uniqueness of a family of measures on the set of Jordan curves, characterised by conformal invariance and another property called "conformal restriction". This conjecture was motivated by (seemingly unrelated) works of Schramm, Lawler & Werner on stochastic Loewner evolutions (SLE), and Malliavin, Airault & Thalmaier on "unitarising measures". The existence of this family was settled by works of Werner-Kemppainen and Zhan, using a loop version of SLE. The uniqueness was recently obtained in a joint work with Jego. I will start by reviewing the different notions involved before giving some ideas of our proof of uniqueness: in a nutshell, we construct a family of "orthogonal polynomials" which completely characterise the measure. In the remaining time, I will discuss the broader context in which our construction fits, namely the conformal field theory associated with SLE. -
Anna Roig Sanchis
Sur le spectre de longueurs des variétés hyperboliques tridimensionnelles aléatoires
3 octobre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Résumé : On s'intéresse à l'étude du comportement des invariants géométriques des variétés hyperboliques tridimensionnelles lorsque leur complexité augmente. Une façon de le faire est de considérer des variétés aléatoires. Il existe plusieurs modèles de variétés aléatoires en basses dimensions. Dans cet exposé, j'expliquerai l'un des principaux modèles probabilistes en dimension 3, et je présenterai un résultat concernant le spectre de longueur -l'ensemble des longueurs de toutes les géodésiques fermées- d'une 3-variété construite selon ce modèle. Si le temps le permet, je dirai aussi un mot sur mes travaux concernant la systole. -
Nihar Gargava
Density of shapes of flat tori in rank 2
10 octobre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Abstract: Consider the compact orbits of diagonal action on SL(3,R)/SL(3,Z). Each such compact orbit can be assigned a two dimensional lattice of periods in R^2 and thus a point in SL(2,R)/SL(2,Z). This is called the "shape" of the compact orbit. We show that the set of these shapes is dense in SL(2,R)/SL(2,Z). Joint work with Nguyen-Thi Dang and Jialun Li. -
Billel Guelmame
Singularity formation and global weak solutions to the Serre–Green–Naghdi equations with surface tension
17 octobre 2024 - 11:00Salle de séminaires IRMA
In this talk, we explore the Serre–Green–Naghdi equations, which describe shallow-water waves while considering the influence of surface tension. These equations are locally (in time) well-posed. We identify a class of smooth initial data, leading to the development of singularities in finite time for the corresponding strong solutions. Additionally, we demonstrate the existence of global weak solutions for small-energy initial data. -
Tommaso Rossi
Weyl's tube formula in sub-Riemannian geometry
7 novembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
The tube of radius r around a submanifold is the set of all points within distance r of the submanifold. In this talk, we discuss the volume of a tube around a submanifold in sub-Riemannian geometry. Firstly, we show that the volume of the tube around a non-characteristic submanifold of class $C^2$ is either smooth or real-analytic for small radii, depending on the regularity of the underlying manifold, and we establish a Weyl's tube formula. Secondly, we investigate Weyl's invariance theorem in sub-Riemannian geometry: we show that two curves in the Heisenberg group with the same Reeb angle have the same Weyl's tube formula. This is a joint work with T. Bossio and L. Rizzi. -
Gabriela Guttierez
Monodromie Hamiltonienne: de la physique à la géométrie des systèmes hamiltoniens
14 novembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Quand on étudie un phénomène physique qui peut être décrit par la mécanique classique, on travaille en général avec des équations différentielles hamiltoniennes. Parmi les systèmes hamiltoniens, on distingue une classe particulière de systèmes appelée systèmes complètement intégrables dont les espaces de solutions ont une structure topologique très intéressante. Cette structure permet de définir un changement local de coordonnées, appelées coordonnées action-angle, qui transforme le flot du système en un flot linéaire sur des tores invariants. La mon- odromie hamiltonienne est l’obstruction topologique la plus simple à l’existence de coordonnées action-angle globales. Dans cet exposé je vais introduire, dans R⁴ , tous les concepts mentionnés dans le paragraphe précédent d’un point de vue géométrique. Je vais ensuite expliquer comment, à l’aide de paires de Lax spectrales, on peut introduire une surface de Riemann telle que le calcul de la monodromie hamiltonienne se ramène au calcul d’un résidu à l’infini d’une forme méromorphe définie sur cette surface de Riemann. Enfin, je conclurai par un aperçu de quelque perspectives de ce travaille. -
Rayan Fahs
Décroissance locale et profil asymptotique de l'équation des ondes amorties dans un cadre asymptotiquement Euclidien
21 novembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Résumé : Dans cet exposé, on s'intéresse à des estimations de décroissance locale pour l’équation des ondes dans un cadre asymptotiquement Euclidien. En dimensions paires, on va au-delà de la décroissance optimale en fournissant le profil asymptotique à long terme, donné par une solution de l’équation des ondes libres. En dimensions impaires, on améliore les meilleures estimations connues. En particulier, on obtient un taux de décroissance qui dépasse la décroissance optimale en dimensions paires. L’analyse repose principalement sur une comparaison de la résolvante correspondante avec la résolvante du problème libre pour les basses fréquences. De plus, tous les résultats s’appliquent à l’équation des ondes amorties avec un indice d’absorption à courte portée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. Royer. -
Marie Trin
Comptage des arcs d'un même type (Couting arcs of the same type)
28 novembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Les résultats de comptage de courbes sur des surfaces hyperboliques de M.Mirzakhani ont été retrouvés et étendus par Erlandsson-Souto en prouvant des théorèmes de convergence pour certaines familles de mesures. En 2022, N.Bell a obtenu des résultats semblables à ceux de M.Mirzakhani pour le comptage d'arcs dans une surface à bords. Dans cet exposé on introduira les méthodes par convergence de mesures pour les problèmes de comptage sur les surfaces et on verra comment adapter celles-ci au cas des arcs. (Mirzakhani's results on curvs counting were recently recovered and extended by Erlandsson-Souto proving general convergence results for familes of measures. In 2022, Bell obtained results closed to Mirzakhani's for arcs rather than curves on surfaces with boundary. In this talk, we will introduce the methods by measures convergence for counting problems on surfaces and see how they can be applied to arc counting.)
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Luc Hillairet
Déterminant du laplacien et singularités coniques
5 décembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Résumé : à une 1-forme holomorphe (ou méromorphe) sur une surface de Riemann, on peut associer une métrique plate à singularités coniques. J'expliquerai comment définir un déterminant associé et essayer de le calculer. Travail en commun avec A. Kokotov et V. Kalvin. -
Baptiste Cerclé
W-algebras, Gaussian Free Fields and Selberg integrals arising from the Mukhin-Varchenko conjecture
12 décembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Two-dimensional Conformal Field Theory (CFT) is a topic of research that has attracted a lot of attention in both the physics and mathematics community since its inception by Belavin-Polyakov-Zamolodchikov in 1984. However answering the seemingly simple question “What is a Conformal Field Theory?” is not as simple as it seems and many different approaches have been developed to address this issue, ranging from probability to representation theory, conformal geometry or Vertex Operator Algebras. In this talk we will discuss some connections between these different perspectives: namely we will explain to what extent the probabilistic approach to CFT based on the consideration of Gaussian Free Fields is equivalent to the more algebraic viewpoint of Vertex Operator Algebras. Based on this correspondence we will explain how to translate results stemming from representation theory of W-algebras into actual statements for Selberg and Dotsenko-Fateev type integrals, providing a systematic method to address the Mukhin-Varchenko conjecture. -
Jack Borthwick
Géométrie à l’infini et comportement asymptotique de champs massifs
19 décembre 2024 - 11:00Salle de conférences IRMA
Dans cet exposé je présenterai une nouvelle construction à « l’infini temporel » d’une variété lorentzienne asymptotiquement plate et donnerai des arguments en faveur de son application à l’analyse du comportement asymptotique de solutions de l’équation de Klein-Gordon sur une telle variété.