Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Le lemme de Morse en géométrie hyperbolique dit que toute quasi-géodésique dans le disque de Poincaré reste à distance bornée d’une géodésique. Ce lemme n’est plus vrai tel quel dans les espaces symétriques de rang supérieur à cause de la présence de plats de dimension au moins deux. Nous verrons plusieurs résultats qui généralisent dans des directions différentes le lemme de Morse au cas de rang supérieur, et mentionnerons quelques applications à l’étude des sous-groupes discrets des groupes de Lie.

Résumé : La filtration de Harder–Narasimhan décompose un objet en facteurs semi-stables de pentes strictement décroissantes. Dans cet exposé, nous présenterons une approche de cette construction fondée sur un principe minimax dans les treillis. Ce cadre permet de retrouver les théories classiques et de traiter des situations où la pente ne provient plus d’un degré additif. Nous illustrerons cette approche par les réseaux normés et par une application aux filtrations coprimaires de modules sur un anneau noethérien. Travail en collaboration avec Marion Jeannin.

Résumé : This work focuses on the mathematical modeling of cellular tissue dynamics. We first propose an individual-based model that provides the dynamics of the positions, velocities, and polarities of the cells, idealized as hard spheres. Cells interact with each other through contact forces, smooth attraction, and polarity alignment. The present work is an extension of the model proposed in [3] and validated by experiments on cellular rings. We will study the well-posedness of a regularized version. We are particularly interested in the congested regime and the impact of apoptosis on the jammed state. Indeed, cell apoptosis corresponds to programmed cell death: when cells leave the tissue, they induce local contractions but also enable cellular rearrangements. To this end, we add to the previous model a microscopic description of apoptotic and proliferation events. Numerical simulations are performed to show the impact of apoptosis on collective cell dynamics. Next, we derive a macroscopic description, following the methodology proposed in [1] and [2]. We start from a mean-field dynamics of the kinetic distribution function in phase space (position, polarity, radius), where contact forces have been replaced with repulsion forces. We then introduce a specific time and space rescaling and identify the equilibrium distribution functions, which are parameterized by two macroscopic quantities: the density and the mean polarity. Based on the Generalized Collision Invariant (GCI) method [2], we are then able to identify their dynamics: the resulting description can be seen as a modified Self-Organized Hydrodynamics (SOH) model. We finally discuss the obtained model and highlight the effect of the apoptotic events on the dynamics. This is a joint work with Laurent Navoret (Université de Strasbourg) and Marcela Szopos (Université Paris Cité). It has also been carried out in collaboration with Romain Levayer (Institut Pasteur) and Daniel Riveline (IGBMC, Université de Strasbourg) in the context of the ANR project MAPEFLU. References [1] Degond, P., Dimarco, G., Mac, T. B. N., and Wang, N. Macroscopic models of collective motion with repulsion. Communications in Mathematical Sciences, 13(6), 1615–1638 (2015). [2] Degond, P., and Motsch, S. Continuum limit of self-driven particles with orientation interaction. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 18(supp01), 1193–1215 (2008). [3] Vecchio, S. L., Pertz, O., Szopos, M., Navoret, L., and Riveline, D. Spontaneous rotations in epithelia as an interplay between cell polarity and boundaries. Nature Physics (2024).

Résumé : On présentera les treillis de Hochschild et certaines généralisations. Ils sont liés aux polytopes de Hochschild qui ont une origine en topologie algébrique dans les travaux de Saneblidze sur les espaces de lacets libres. On parlera aussi des propriétés observées de leurs polynômes de Coxeter.

Résumé : Une des contributions principales de Tsimerman, d'après sa laudatio est la conjecture d'André-Oort. Le but de cet exposé est d'en donner l'énoncé ainsi qu'une idée de l'outil nouveau dans la preuve : l'o-minimalité, une théorie venant de la logique.

Résumé : We introduce and study harmonic bands through the geometry of holomorphic curves and their associated Frenet–Serret frames. Starting from an ideal band, we construct a family of bands—which we call generalized Landau levels—whose associated maps to projective space are harmonic, and express their quantum metric and Berry curvature in terms of consecutive osculating curves. We then show explicitly how ordinary Landau levels fit into this construction. The lowest Landau level defines a holomorphic curve in projective Hilbert space, and its Frenet–Serret frame represents all higher Landau levels. Thus ordinary Landau levels are generalized Landau levels and provide the canonical examples of harmonic bands.