Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai des problèmes inverses spectraux portant sur des opérateurs de Schrödinger magnétiques. La question est de savoir 1) dans un premier problème si le spectre d’un opérateur de Schrödinger magnétique sur une variété riemannienne compacte fermée permet de déterminer le potentiel électrique et le champ magnétique, 2) et dans un deuxième problème si le spectre de l’opérateur Dirichlet-à-Neumann (ou opérateur de Steklov) associé à un opérateur de Schrödinger magnétique sur une variété riemannienne compacte à bord permet de déterminer le potentiel électrique et le champ magnétique au bord (« boundary determination » ). Je discuterai du niveau de non-linéarité de ces problèmes, ainsi que des difficultés dues à la présence d’invariances de jauge. Il s’agit d’un travail en commun avec Benjamin Florentin. Si le temps le permet, je parlerai d’autres problèmes inverses associés à des opérateurs de Schrödinger magnétiques qui sont en cours d’investigation.

Résumé : The answer that I will propose is a higher categorical structure in symplectic geometry that includes all Fukaya categories and geometric functors between them. Its highly involved algebraic and analytic details are the topic of joint work with Nate Bottman. However, its basic structure can be understood as a natural -- yet not previously studied -- extension of the category of topological spaces and continuous maps. So the goal of this talk is to make broadly accessible the two underlying ideas: The notion of quilts (collections of maps related by ``seam conditions'') and the string diagram approach to constructing and making sense of 2-categories.

Résumé : L'échantillonnage pondéré (importance sampling) permet d'estimer des espérances de la forme I=E[phi(X)] où X a une certaine densité f présumée trop compliquée pour faire le calcul directement. Dans cet objectif, l'idée essentielle de la méthode de Monte-Carlo consisterait à générer des copies iid X_1, ..., X_n de X, et à prendre la valeur moyenne des phi(X_i) pour estimer I. Mais il arrive que la génération de ces copies soit elle-même impossible ; dans ce cas, si l'on sait générer des copies Y_1, ..., Y_n d'une autre densité g, alors la moyenne des phi(Y_i) f(Y_i)/g(X_i) sera une bonne approximation de I, non biaisée si f et g ont le même support. On a simplement repondéré les phi(Y_i) avec le poids w (y) = f(y)/g(y), d'où le nom de la technique. Évidemment, rien n'est gratuit, et ce nouvel estimateur peut avoir une variance élevée. Dans cet exposé, je présenterai (1) comment et pourquoi utiliser cette technique, (2) plusieurs méthodes et théorèmes pour mesurer sa précision, notamment en distance de Wasserstein, et (3) un lien naturel avec le problème de la quantisation des mesures.