Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Dans cet exposé je présenterai la théorie des dessins d'enfants de Grothendieck sous différents angles : celui de la topologie des surfaces, puis celui de la théorie des nombres. Tout ça à travers des exemples explicites et quelques anecdotes historiques. J'essaierai de faire en sorte qu'à la fin de l'exposé chaque personne puisse s'en aller avec sa bouture :-)

Résumé : Soit $G$ un groupe réductif sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, une des premières interactions en la théorie des représentations et les techniques de cohomologie étale vient de la théorie de Deligne-Lusztig. C'est une théorie de nature géométrique qui consiste à réaliser les représentations du groupe fini $G(\mathbb{F}_q)$ dans la cohomologie étale des variétés éponymes. Ce domaine de recherche est en pleine transformation grâce à l'introduction de nouvelles méthodes appelées traces catégoriques provenant de la théorie des catégories supérieures. Ces dernières permettent de recontextualiser les résultats essentiels de la théorie et établissent un pont entre avec la théorie géométrique des représentations, cette dernière ayant pour intérêt des catégories (monoidales) de faisceaux sur des objets géométriques associés au groupe algébrique $G$. Le but de cet exposé sera d'expliquer la construction principale qui consiste à réaliser la catégorie des représentations de $G(\mathbb{F}_q)$ comme une trace catégorique d'une catégorie explicite, puis dans un deuxième temps d'illustrer cette construction avec une nouvelle application ou l'on construit une déformation (d'une partie) de cette catégorie où $q$ devient un paramètre formel.

Résumé : De nombreux phénomènes physiques, notamment de la mécanique des fluides ou de l'optique ondulatoire, sont gouvernés par des équations aux dérivées partielles dispersives. Cet exposé vise à donner un cadre à ces équations, à en présenter certaines comme celles de Korteweg-de Vries et Schrödinger, ainsi que des solutions localisées particulières que sont les solitons. Ce sera également l'occasion d'introduire une nouvelle équation qui rentre dans ce cadre et de voir comment on peut obtenir l'existence de solitons associés.

Résumé : Anosov geodesic flows have been the model to study several dynamical dynamical properties and to develop techniques to approach question arising from ergodic theory. There are several possibilities to generalize the Anosov setting, for example rank 1 Riemannian metrics and Riemannian metrics with no conjugate points, and one of the most frequent questions is "can you still get the same, at some extend, dynamical and ergodic properties". In a recent joint work with Luis Piñeyrúa and Sergio Romaña we propose the approach via partially hyperbolic systems. In this talk, I am going to present some of the Anosov geodesic flows properties that we are able to extend to some non-Anosov geodesic flows.

Résumé : I will survey motivational questions and guiding topics that surround the interrelated themes of extremal rays, positivity for line bundles and Diophantine approximation. Only limited background will be assumed. Time permitting, I will indicate selected recent results and ongoing work.

Résumé : Les cascades multiplicatives sont des mesures fractales aléatoires introduites par Mandelbrot pour modéliser les phénomènes de turbulence. Ces mesures sont paramétrées par une variable aléatoire positive W et par un entier r, et sont définies sur la frontière de l'arbre r-aire. Dans cet exposé, nous nous intéresserons au comportement limite de la cascade lorsque r tend vers l'infini, et en particulier aux grandes déviations. Quand la queue de W est légère (à décroissance surexponentielle), les déviations s'expliquent par des déviations dans le premier niveau de l'arbre. Ce n'est plus le cas lorsque W a une queue plus lourde ((sous-)exponentielle) : les déviations s'expliquent alors par des déviations le long d'une épine de longueur finie dans l'arbre et la fonction de taux s'obtient par récurrence.