Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Elie Aidekon
La limite d'échelle de la marche aléatoire biaisée
22 janvier 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous considérons un arbre de Galton-Watson sur lequel évolue une marche aléatoire avec un biais vers la racine. Ce modèle fut étudié par Lyons,Pemantle et Peres. On s'intéresse au cas critique où la marche est nulle récurrente. Nous montrons que la limite d'échelle de la trace de la marche est la forêt Brownienne. Cela permet de retrouver le théorème central limite sur la hauteur de la marche dû à Peres et Zeitouni (2006). C'est un travail en collaboration avec Loïc de Raphélis. -
Jean Bérard
Modèles stochastiques microscopiques de propagation de front.
29 janvier 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Mathias Beiglböck
Optimal transport and Skorokhod embedding
5 février 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The Skorokhod embedding problem is to represent a given probability as the distribution of Brownian motion at a chosen stopping time. Over the last 50 years this has become one of the important classical problems in probability theory and a number of authors have constructed solutions with particular optimality properties. These constructions employ a variety of techniques ranging from excursion theory to potential and PDE theory and have been used in many different branches of pure and applied probability. We develop a new approach to Skorokhod embedding based on ideas and concepts from optimal mass transport. In analogy to the celebrated article of Gangbo and McCann on the geometry of optimal transport, we establish a geometric characterization of Skorokhod embeddings with desired optimality properties. This leads to a systematic method to construct optimal embeddings. It allows us, for the first time, to derive all known optimal Skorokhod embeddings as special cases of one unified construction and leads to a variety of new embeddings. While previous constructions typically used particular properties of Brownian motion, our approach applies to all sufficiently regular Markov processes. -
Nicolas Juillet
Processus croissants pour l'ordre convexe diatomique
12 février 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
J'énoncerai une condition suffisante pour une famille de mesures de probabilité indexées sur [0,\infty[^2 à ce qu'il existe une martingale à deux indices dont c'est la famille des lois 1-dimensionnelles. La méthode employée produit des martingales qui peuvent être ou ne pas être markovienne. Je préciserai sous quelles conditions la martingale est markovienne. -
Luca Rizzi
Nonholonomic random walks
26 février 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
We discuss, from a geometrical viewpoint, different classes of random walks on a manifold, where the typical paths are tangent to a given set of vector fields, satisfying Hormander condition. We discuss the convergence of these walks to a limit diffusion, and the associated second order, hypoelliptic operator. We compare the result with the standard sub-laplacians of sub-Riemannian geometry, with the aim to find a good microscopic interpretation for hypoelliptic diffusion. This is a joint work with U. Boscain and R. Neel. -
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Vincent Vargas
Liouville conformal field theory
18 mars 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Liouville quantum field theory (LQFT) is a family of conformal field theories (CFT) which arise as a building block of Polyakov's quantum gravity. In LQFT, one can define correlation functions and random measures (which are conjectured to be the scaling limit of large planar maps properly embedded in the sphere). In a seminal paper of theoretical physics, Belavin, Polyakov and Zamolodchikov (BPZ) introduced a general formalism, the so-called BPZ formalism, to study a CFT and in particular to compute the correlation functions. I will present recent progress in giving a rigorous mathematical meaning to the BPZ formalism in the context of LQFT. Based on joint work with A. Kupiainen and R. Rhodes. -
Guenter Last
Transports of random measures and embedding random patterns into Brownian motion
29 avril 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
In this talk we shall consider invariant transports between jointly stationary ergodic random measures on the real line with equal intensities. In the first part of the talk (based on joint work with Peter Mörters and Hermann Thorisson) we assume the random measures to be diffuse. Then there exists an explicitly given transport, which is in fact an allocation map. When applied to the local times of a Brownian motion, this leads to an unbiased Skorokhod embedding of a given distribution. In the second part of the talk (based on joint work with Wenpin Tan and Hermann Thorisson) we construct a balancing allocation map in the case of a possibly non-diffuse target measure. We apply this result to embedd (conditional) Ito excursion laws into Brownian motion in an unbiased manner. -
Bernard Heinkel
Test des signes et TCL d'Ibragimov
13 mai 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Il est bien connu que la suite de v.a. associée au test des signes ( difference-sign test ) converge en loi vers une v.a. N ( 0, 1 ). Kendall précise - de façon sibylline - que "the approach to normality is fairly rapid". Le but de cet exposé est de justifier cette affirmation en se basant sur le TCL d'Ibragimov. -
Karl-Theodor Eisele
Les flux financiers au marché et leurs valeurs (Traded financial flows and their values)
20 mai 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Contrairement à la théorie classique de mathématiques financières, nos objets de base ne sont pas les valeurs des actifs d’un marché, mais leurs flux financiers. Ils seront évalués par un opérateur, consistant en temps (time-consistent risk assessment). Sur un marché liquide, les valeurs des portefeuilles sont évaluées linéairement (négligeant les coûts de transaction), au contraire de l’évaluation des flux des sinistres dans une assurance. En combinaison avec la consistance en temps, la sensitivité du marché remplace la condition habituelle de non-arbitrage. Un théorème de représentation montre que l’évaluation d’un portefeuille consiste en une combinaison entre ses flux instantanés et sa valeur future. Dans le cas particulier où l’on a seulement des flux finaux, ce théorème est équivalent au théorème bien connu de Dalang-Morton-Willinger. -
Idris Kharroubi
Optimal Switching in Finite Horizon under State Constraints
27 mai 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
We study an optimal switching problem with a state constraint: the controller is only allowed to choose strategies that keep the controlled diffusion in a closed domain. We prove that the value function associated with this problem is the limit of value functions associated with unconstrained switching problems with penalized coefficients, as the penalization parameter goes to infinity. This convergence allows to set a dynamic programming principle for the constrained switching problem. We then prove that the value function is a solution to a system of variational inequalities (SVI for short) in the constrained viscosity sense. We finally prove that uniqueness for our SVI cannot hold and we give a weaker characterization of the value function as the maximal solution to this SVI. All our results are obtained without any regularity assumption on the constraint domain. -
Basile De Loynes
Marches aléatoires sur des graphes induits par des pavages apériodiques
3 juin 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
La méthode de coupe-et-projection permet de construire des pavages apériodiques de l'espace euclidien (un exemple célèbre est le pavage de Penrose) à l'aide d'un nombre fini de prototuiles. Ces pavages définissent de manière naturelle des graphes non dirigés dont l'ensemble des noeuds est constitué de l'ensemble des sommets des tuiles du pavages, et deux noeuds sont adjacents si ils sont reliés par une arête d'une tuile. Dans un premier temps, on montre une dichotomie de type Polya pour la récurrence/transience de la marche aléatoire simple. Intuitivement, même si localement la courbure du graphe varie, globalement celles-ci est nulle ce qui explique que l'on retrouve un résultat similaire au cas $\mathbb{Z}^d$. Dans un second temps, on montre que l'entropie asymptotique de ces marches est génériquement nulle en exploitant des résultats sur les processus de Markov additifs. -
El Houcein El Abdalaoui
Une transformation de rang un à spectre de Lebesgue simple et le problème des polynômes plats en interaction avec l’analyse combinatoire.
10 juin 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Dans un travail récent en collaboration avec le Professeur M. G. Nadkarni (Mumbai, India), nous avons établit qu’en se restreignant à la classe des transformations de rang un les trois problèmes suivants sont équivalents :
• Le problème spectrale de Banach (Est-ce qu’il existe une fonction observable telle que les éléments de son orbite sous l’action d’une transformation constituent une base Hilbertienne de L2?),
• Le problème des polynômes plats de Littlewood( une suite de polynômes Pn L2-normalisés est dite une suite de polynômes plats si elle approxime la fonction 1 dans un certain sens. Les cas les plus considérés sont la convergence au sens de la norme L\infty;, L1, L4 et presque sûre. Pour le cas L\infty; on dit que les polynômes sont ultraplats.)
• Le problème de Mahler qui consiste à exihiber, si possible, une suite de polynômes de Newman L2-normalisés dont les mesures de Mahler convergent vers 1.
Dans un travail très récent, en utilisant des idées combinatoires dues à Singer autour des ensembles de Sidon combinées avec les inégalités d’interpolation de Marcinkiewicz-Zygmund dans la théorie des espaces Hp de Hardy et ses ramifications, je montre que la stratégie de la norme L4 ne peut s’appliquer au problème des polynômes plats restreint aux polynômes de Newman. En dépit de cela, je montre qu’il est possible de construire des polynômes de Newman L1-plats . On en déduit qu’il existe des transformations de rang un agissant sur un espace de mesure infinie et à spectre simple de Lebesgue. Lors de mon exposé, je présenterai ces résultats et les outils utilisés pour les démontrer. -
Nicolas Juillet
Lois jointes par la méthode des ombres
7 octobre 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Je présenterai une méthode pour définir des lois jointes de type martingale, les marges, réelles, étant données et dans l'ordre convexe. Les couplages en résultant présentent des relations particulières avec certains problèmes de transport, le problème du plongement de Skorokhod et une représention de Choquet mise en lumière par Kellerer. Les résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec Mathias Beiglböck (Vienne). -
Michel Émery
Sur deux invariants des filtrations à temps discret négatif.
18 novembre 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Parmi les filtrations indexées par les entiers négatifs, Vershik a distingué voici plus de quarante ans celles que l'on peut immerger dans une filtration engendrée par un processus fait de v.a. indépendantes (il les a appelées filtrations standard). Dans beaucoup de situations, pour établir qu'une filtration est standard, on en exhibe un paramétrage générateur. Cette condition suffisante de standardité est-elle aussi nécessaire ? -
Denis Villemonais
Courbure de Wasserstein pour certains systèmes de particules en interaction
25 novembre 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
La courbure de Wasserstein d'un processus décrit la vitesse de convergence d'un processus de Markov vers sa mesure stationnaire. Nous proposons une méthode de minoration de cette courbure pour des systèmes de particules en interaction (chaque particule évolue selon une mesure de saut qui dépend de la configuration du système). Ce résultat est utilisé pour l'étude de l'existence de deux phases dans un systèmes d'agents en interaction de type champ-moyen. -
Vlada Limic
Near-critical random graphs and the multiplicative coalescent revisited
28 novembre 2016 - 11:00Salle de séminaire 418
EXCEPTIONNELLEMENT UN LUNDI ! There is a version of Erdös-Rényi random graph that
conveniently runs in continuous time. In 1996 Aldous realized that
this construction can be greatly extended, so that the state space
becomes l_2 (the infinite list of non-negative components are the
block masses). Moreover, Aldous constructed the "standard"
multiplicative coalescent: an entrance law that "starts" from the
"dust" (0,0,...) at time $-\infty$, diverges to $(\infty,0,0,...)$ as
time goes to $\infty$, and runs in between in l_2 according to the
multiplicative coalescent (MC) dynamics - each pair of blocks
coalesces at the rate equal to the product of their masses. It turned
out that many other MC entrance laws exist, and the paper from 1998 by
Aldous and the speaker characterized them in three different ways. One
of these characterizations is in terms of excursions of a reflected
Lévy-type (constant * BM + pure jump + drift) process, where the
non-negative constant may be $0$.
In 1998 we lacked good intuition for why the excursion technique
proved to be so useful in that analysis. The talk will aim to mend
that.
The novel construction of the random walk (to be explained) is clearly
related to several constructions by others (Armendáriz 2001, Uribe
Bravo 2007, Martin and Ráth 2016), and less clearly related to that by
Broutin and Marckert 2015. -
Loren Coquille
Variabilité génétique pour un modèle mendelien diploïde
2 décembre 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
I will review some important works about stochastic individual-based models of adaptive dynamics, which describe the Darwinian evolution of asexual populations as birth and death processes with competition. Then I will present the counterpart of these models for diploid populations, reproducting according to Mendelian rules. I will present a result of genetic coexistence, showing that diploid populations have a selective advantage with respect to haploid ones : they are able to survive environmental changes much longer. This is a joint work with A. Bovier and R. Neukirch (Uni Bonn). -
Cédric Boutillier
Mécanique statistique intégrable sur les graphes isoradiaux
9 décembre 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Les graphes isoradiaux sont des graphes planaires munis d'un plongement tel que toutes les faces bornées sont inscrites dans un cercle de rayon 1. Après avoir présenté quelques propriétes des graphes isoradiaux, et expliqué pourquoi ils sont un support bien adapté pour étudier les modèles exactements solubles de mécanique statistique, nous introduirons une famille à un paramètre de laplaciens massiques sur les graphes isoradiaux. Il servira à étudier le modèle d'Ising, et le modèle des forêts couvrantes sur ces graphes. -
Quentin Berger
Influence du désordre sur les transitions de phase : l’exemple du modèle d’accrochage de polymère
16 décembre 2016 - 11:00Salle de séminaires IRMA
On s’intéressera dans cet exposé aux transitions de phase dans des systèmes désordonnés: une question est notamment de savoir si un désordre arbitrairement faible modifie les caractéristiques de la transition de phase, par rapport à un système sans désordre. Après avoir introduit cette thématique pour un système désordonné général, on se concentrera plus particulièrement sur le modèle d’accrochage de polymère, qui modélise un polymère au voisinage d’un environnement attractif, par exemple une membrane. Ce modèle a attiré l’attention des physiciens et des mathématiciens depuis plus de vingt ans, et nous exposerons des résultats récents précisant l’influence du désordre pour ce modèle.