Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Nicolas Broutin
La limite d’échelle de la percolation critique sur l’hypercube
30 janvier 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Nous parlerons de la phase critique de la percolation par arête sur l’hypercube de Hamming {0,1}^m, et plus particulièrement de la limite d’échelle des grandes composantes connexes. Nous montrons en particulier que la limite est la même que pour les graphes aléatoires d’Erdos-Rényi critiques, c’est-à-dire la percolation par arête critique sur le graphe complet. La présentation sera basée sur un travail en commun avec Arthur Blanc-Renaudie et Asaf Nachmias. -
Charlotte Derouet
La fonction de densité: un regard didactique sur l'enseignement et l'apprentissage de cette notion
13 février 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Lors de mon exposé, je présenterai plusieurs travaux de recherche en didactique des mathématiques que j'ai menés autour de l'enseignement et l'apprentissage des probabilités au lycée et à la transition lycée/université. Plus particulièrement, je m'intéresserai à la fonction de densité, notion au carrefour entre les probabilités et l'analyse. -
Pierre Tarrago
Frontière de Martin pour marches aléatoires dans des cônes
27 février 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Dans cet exposé, je rappellerai pourquoi les fonctions harmoniques permettent le conditionnement d'une marche aléatoire à rester dans un domaine, et comment la frontière de Martin donne une description qualitative de ces fonctions harmoniques. J'exposerai ensuite des résultats récents sur la description de la frontière de Martin dans le cas particulier où le domaine est un cône (travail en collaboration avec Jetlir Duraj, Kilian Raschel et Vitali Wachtel). A cette occasion, j'expliquerai également une méthode assez nouvelle, due à Denisov et Wachtel, qui permet d'étudier efficacement des marches aléatoires conditionnées. -
Pierrick Siest
Modèle de Richardson avec mélange
19 mars 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Le modèle de Richardson a été introduit par Richardson en 1973. C'est un modèle de croissance aléatoire, qui peut par exemple modéliser la propagation d'une maladie. On s'intéresse à ce modèle sur le graphe $ (\Z^d,\E^d)$, où $\E^d$ est l'ensemble des arêtes entre plus proches voisins de $\Z^d$. Au temps $t=0$, l'origine est considérée comme un sommet infecté, tous les autres sommets sont considérés comme des sommets sains. Ensuite, à chaque instant $t>0$, chaque sommet infecté $x$ infecte un voisin sain $y$ à taux $\lambda>0$, indépendamment des autres sommets. Dans cet exposé, je parlerai du modèle de Richardson avec mélange, qui correspond au modèle de Richardson pour lequel chaque sommet infecté $x$ échange son état d'infection avec un sommet voisin $y$, à taux $1$, indépendamment des infections et des autres échanges. Cela modélise les déplacements des personnes infectées. Je présenterai un théorème de forme asymptotique, démontré par Richardson en 1973 pour le modèle sans mélange, que nous avons démontré pour le modèle avec mélange, pour $\lambda$ suffisamment grand, avec Irène Marcovici et Régine Marchand. Il concerne la forme de l'ensemble des sommets qui ont déjà été infectés au moins une fois au temps $t$, lorsque $t\to +\infty$. Je parlerai également d'un résultat de fixation, qui concerne l'état en temps long d'un site : est-ce qu'il fixe sur un même état à partir d'un certain temps ? -
Guillaume Cebron
Matrices aléatoires en liberté conditionnelle
2 avril 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Résumé : La liberté de Voiculescu émerge lors du calcul de la distribution asymptotique de matrices aléatoires indépendantes et unitairement invariantes. Nous présenterons ce lien établi par Voiculescu entre la théorie des probabilités libres et les matrices aléatoires, et expliquerons quelques extensions récentes de ce résultat : en considérant une suite de vecteurs déterministes v_N, la distribution asymptotique des matrices par rapport aux états vectoriels associés aux v_N peut être calculée grâce à la liberté conditionnelle définie par Bozejko et Speicher. De plus, le terme infinitésimal dans la limite de la trace normalisée est régie par une nouvelle indépendance non commutative : la liberté conditionnelle cyclique. La présentation est basée sur des résultats obtenus avec A. Dahlqvist, F. Gabriel et N. Gilliers. -
Francesca Crucinio
A connection between Tempering and Entropic Mirror Descent
9 avril 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
This talk explores the connections between tempering (for Sequential Monte Carlo; SMC) and entropic mirror descent to sample from a target probability distribution whose unnormalized density is known. We establish that tempering SMC corresponds to entropic mirror descent applied to the reverse Kullback-Leibler (KL) divergence and obtain convergence rates for the tempering iterates. Our result motivates the tempering iterates from an optimization point of view, showing that tempering can be seen as a descent scheme of the KL divergence with respect to the Fisher-Rao geometry, in contrast to Langevin dynamics that perform descent of the KL with respect to the Wasserstein-2 geometry. -
Jürgen Angst
TLC en variation totale pour les beta-ensembles
16 avril 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Dans cet exposé, on s'intéresse aux fluctuations des statistiques linéaires associées aux beta-ensembles, qui sont des modèles de physique statistique généralisant les spectres de matrices aléatoires. Dans le cadre des matrices aléatoires précisément (GOE, GUE par ex), la "loi des grands nombres" est le théorème de Wigner qui indique que la mesure empirique des valeurs propres converge vers la loi du demi-cercle et on peut montrer que les fluctuations autour de l'équilibre sont gaussiennes. Nous décrirons comment ce résultat se généralise aux beta-ensembles et comment il est possible de quantifier la vitesse de convergence vers la loi normale. Nous obtenons ainsi des vitesses optimales pour la distance en variation totale et les distances de Wasserstein. Pour ce faire, nous introduisons une variante de la méthode de Stein pour un générateur $L$ qui n'est pas nécessairement inversible, et qui permet d'établir la normalité asymptotique d'observables qui ne sont pas dans l'image de $L$. Si le temps le permet, nous nous intéresserons également au phénomène de super-convergence, qui assure que la convergence vers la loi normale a lieu pour des métriques très fortes, typiquement la convergence $C^{\infty}$ des densités. L'exposé est basé sur des travaux récents avec D. Malicet, R. Herry et G. Poly.