Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Emma Horton
Généalogies des processus de branchement critiques
14 janvier 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Les processus de branchement sont pertinents pour comprendre de nombreux processus différents du monde réel tels que la division cellulaire, la croissance de la population et le transport de neutrons. En particulier, la compréhension de leurs structures généalogiques peut s'avérer utile pour l'estimation des paramètres, les simulations de Monte Carlo et les limites d'échelle. Dans cet exposé, nous discutons d'une décomposition du processus de branchement connue sous le nom de formule “many-to-few", qui permet de comprendre le comportement d'un processus de branchement en termes de sous-arbre pondéré. Je donnerai ensuite deux applications de cette décomposition pour démontrer son utilité dans la compréhension de la structure généalogique du processus de branchement. -
Ivailo Hartarsky
Percolation de Catalan
21 janvier 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
En percolation de Catalan, on déclare les arêtes $\{i,i+1\}$ pour $i\in\mathbb Z$ occupées et chaque arête $\{i,j\}\subset\mathbb Z$ avec $j\geq i+2$ ouverte indépendamment avec probabilité $p$. Pour $k\geq i+2$, on déclare récursivement $\{i,k\}$ occupé, si $\{i,k\}$ est ouvert et $\{i,j\}$ et $\{j,k\}$ sont tous les deux occupés pour un $j\in\{i+1,\dots,k-1\}$. Ce modèle a été introduit par Gravner et Kolesnik dans le contexte de la percolation bootstrap polluée, mais il est également intimement lié aux structures de Catalan, ainsi qu’à la percolation orientée. On établit que le seuil critique de ce modèle est strictement compris entre les bornes naturelles inférieure et supérieure, données respectivement par $1/4$ et la probabilité critique de la percolation orientée par sites sur $\mathbb Z^2$. La partie la plus difficile de la preuve est une inégalité stricte pour le paramètre critique d’un modèle de percolation orientée avec des dépendances non-décroissantes de portée infinie, sans recours à l’argument classique d’Aizenman--Grimmett. L’exposé est basé sur un travail en commun avec Eleanor Archer, Brett Kolesnik, Sam Olesker-Taylor, Bruno Schapira et Daniel Valesin disponible à https://arxiv.org/abs/2404.19583. -
Franco Severo
Cutsets, percolation and random walks
4 février 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Which graphs $G$ admit a percolating phase (i.e. $p_c(G)<1$)? This seemingly simple question is one of the most fundamental ones in percolation theory. A famous argument of Peierls implies that if the number of minimal cutsets of size $n$ from a vertex to infinity in the graph grows at most exponentially in $n$, then $p_c(G)<1$. Our first theorem establishes the converse of this statement. This implies, for instance, that if a (uniformly) percolating phase exists, then a "strongly percolating” one also does. In a second theorem, we show that if the simple random walk on the graph is uniformly transient, then the number of minimal cutsets is bounded exponentially (and in particular $p_c<1$). Both proofs rely on a probabilistic method that uses a percolating random set to generate a random minimal cutset whose probability of taking any given value is lower bounded exponentially on its size. Based on a joint work with Philip Easo and Vincent Tassion. -
Thomas Budzinski
La plus longue sous-suite croissante d'une permutation séparable aléatoire
11 février 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Considérons un arbre binaire (i.e. où tous les sommets sont de degrés 1 ou 3) T, muni de signes positifs ou négatifs sur ses sommets. On se pose la question suivante : quelle est la plus grande taille possible d'un sous-arbre de T dans lequel aucun sommet négatif n'est de degré 3 ? Si T est choisi uniformément parmi tous les arbres binaires de taille n et si les signes sont choisis de manière i.i.d., cela décrit aussi la plus longue sous-suite croissante dans un modèle naturel de permutations séparables aléatoires. On verra alors que cette quantité se comporte comme $n^{\alpha}$, où $\alpha$ est la solution d'une équation explicite. Travail en cours avec Arka Adhikari, Jacopo Borga, William da Silva et Delphin Sénizergues -
Hansjoerg Albrecher
Matrix Distributions, Fractional Calculus and Insurance Risk Models
25 février 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
In this talk some recent developments on matrix distributions and their connection to absorption times of inhomogeneous Markov processes will be discussed, in particular how and why such constructions are natural tools for modelling in applied probability, with a particular emphasis on non-life and life insurance applications. We also illustrate how certain extensions to the non-Markovian case involve fractional calculus and lead to matrix Mittag-Leffler distributions, which turn out to be a flexible and parsimonious class for the modelling of large but rare insurance loss events.