Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Emma Horton
Généalogies des processus de branchement critiques
14 janvier 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Les processus de branchement sont pertinents pour comprendre de nombreux processus différents du monde réel tels que la division cellulaire, la croissance de la population et le transport de neutrons. En particulier, la compréhension de leurs structures généalogiques peut s'avérer utile pour l'estimation des paramètres, les simulations de Monte Carlo et les limites d'échelle. Dans cet exposé, nous discutons d'une décomposition du processus de branchement connue sous le nom de formule “many-to-few", qui permet de comprendre le comportement d'un processus de branchement en termes de sous-arbre pondéré. Je donnerai ensuite deux applications de cette décomposition pour démontrer son utilité dans la compréhension de la structure généalogique du processus de branchement. -
Ivailo Hartarsky
Percolation de Catalan
21 janvier 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
En percolation de Catalan, on déclare les arêtes $\{i,i+1\}$ pour $i\in\mathbb Z$ occupées et chaque arête $\{i,j\}\subset\mathbb Z$ avec $j\geq i+2$ ouverte indépendamment avec probabilité $p$. Pour $k\geq i+2$, on déclare récursivement $\{i,k\}$ occupé, si $\{i,k\}$ est ouvert et $\{i,j\}$ et $\{j,k\}$ sont tous les deux occupés pour un $j\in\{i+1,\dots,k-1\}$. Ce modèle a été introduit par Gravner et Kolesnik dans le contexte de la percolation bootstrap polluée, mais il est également intimement lié aux structures de Catalan, ainsi qu’à la percolation orientée. On établit que le seuil critique de ce modèle est strictement compris entre les bornes naturelles inférieure et supérieure, données respectivement par $1/4$ et la probabilité critique de la percolation orientée par sites sur $\mathbb Z^2$. La partie la plus difficile de la preuve est une inégalité stricte pour le paramètre critique d’un modèle de percolation orientée avec des dépendances non-décroissantes de portée infinie, sans recours à l’argument classique d’Aizenman--Grimmett. L’exposé est basé sur un travail en commun avec Eleanor Archer, Brett Kolesnik, Sam Olesker-Taylor, Bruno Schapira et Daniel Valesin disponible à https://arxiv.org/abs/2404.19583.