Séminaire Arithmétique et géométrie algébrique
organisé par l'équipe Arithmétique et géométrie algébrique
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Alberto Vezzani
Le basculement rigide analytique motivique
15 janvier 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Dans cet exposé, nous esquissons la démonstration de l'équivalence entre la catégorie des motifs des variétés analytiques rigides (définie par Ayoub conformément à la construction de Voevodsky) sur un corps perfectoïde de caractéristique mixte et celle sur le corps perfectoïde d'égale caractéristique associé. Ce résultat peut être considéré comme une généralisation motivique du théorème de Fontaine et Wintenberger sur l'isomorphisme des deux groupes de Galois absolus. Un outil fondamental de la preuve est la théorie des espaces perfectoïdes de Scholze. -
Javier Fresán
Une théorie des motifs pour les périodes exponentielles
22 janvier 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Les périodes exponentielles sont une classe de nombres complexes incluant les valeurs spéciales de la fonction gamma et des fonctions de Bessel, la constante γ d'Euler, ainsi que d'autres nombres intéressants qui ne sont pas censés être des périodes au sens usuel de la géométrie algébrique. Cependant, on peut les interpréter comme les coefficients d'un isomorphisme de comparaison entre deux théories cohomologiques : la cohomologie de de Rham d'une connexion à singularités irrégulières et une cohomologie dite « à décroissance rapide ». Dans cet exposé, j'expliquerai comment ce point de vue permet de définir une catégorie des motifs et de produire des groupes de Galois qui contrôlent –conjecturalement– les relations algébriques entre ces nombres. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Peter Jossen. -
Marco Antei
Sur l'existence du schéma en groupes fondamental.
29 janvier 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
(Travail en collaboration avec Michel Emsalem et Carlo Gasbarri). Soient S un schéma et X un schéma de type fini et fidèlement plat sur S. L'existence d'un S-schéma en groupes classifiant tous les torseurs au-dessus de X sous l'action de S-schémas en groupes finis et plats avait été conjecturée par Grothendieck dans son célèbre SGA1. Lorsque S est le spectre d'un corps Madhav Nori a montré l'existence de cet objet dans sa thèse et il l'a appelé le "schéma en groupes fondamental". Nous nous somme occupés du cas où S est un schéma de Dedekind : dans ce cas, non seulement nous avons pu répondre affirmativement aux attentes de Grothendieck, mais nous avons aussi trouvé un objet plus "large" qui classifie tous les torseurs au dessus de X sous l'action de S-schémas en groupes quasi-finis et plats. -
Jean-Stefan Koskivirta
Invariants de Hasse généralisés
26 février 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Resume : L'invariant de Hasse classique d'une courbe elliptique sur un schema S de charactéristique p est une section d'un fibré en droites dont le lieu de non-annulation est exactement l'ensemble des points où la courbe elliptique est ordinaire. Pour une variété de Shimura de type Hodge, il existe une stratification dite d'Ekedahl-Oort sur la fibre spéciale, donnée par la classe d'isomorphisme de la p-torsion du schéma abélien universel (avec structure). On construit des sections de puissances du fibré de Hodge sur les clôtures des strates qui s'annulent exactement sur le bord de celles-ci. On considère également des stratifiactions d'autre espaces de modules étudiés par Ekedahl-Van der Geer, et on démontre des résultats similaires. Notre approche est entièrement axée sur la théorie des groupes réductifs, et utilise les champs de G-Zip introduits par Moonen, Pink, Wedhorn, Ziegler. -
Michael Groechenig
Adèles and the geometry of schemes
4 mars 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
By a result of André Weil vector bundles on a curve can be described as a double quotient of the set of invertible matrices over the ring of adèles. In this talk we will discuss an extension of this description to arbitrary Noetherian schemes, and perfect complexes. As a corollary we obtain that every Noetherian scheme can be reconstructed from Beilinson’s cosimplicial ring of adèles. -
Yohan Brunebarbe
Une propriété d'hyperbolicité forte des variétés arithmétiques localement symétriques
11 mars 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
On expliquera le résultat suivant : si on considère une variété lisse quasi-projective obtenue comme quotient d'un domaine symétrique borné par un réseau arithmétique, alors elle admet un revêtement étale fini dont toutes les sous-variétés sont de type général. Cela permet par exemple d'obtenir une généralisation d'un célèbre résultat de Nadel de non-existence de structures de niveaux sur les variétés abéliennes définies sur un corps de fonctions de degré de transcendance quelconque. -
Olivier Brinon
Pureté de Zariski-Nagata pour certains espaces rigides
18 mars 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
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Victor Lozovanu
De la géométrie convexe à la positivité en géométrie algébrique
1 avril 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Il y a quelques années, Okounkov a associé un ensemble convexe (le corps de Newton-Okounkov) à un diviseur, qui code le comportement d'annulation asymptotique de toutes les sections globales de toutes les puissances du diviseur le long d'un drapeau fixé. Il a mis en lumière le principe très intéressant suivant : "utiliser la géométrie convexe, à travers la théorie des corps de Newton-Okounkov, pour étudier les propriétés géométrique/algébrique/arithmétique des variétés projectives lisses". Le but principal de cet exposé est d'expliquer quelques idées philosophiques de ce principe, en se concentrant sur l'étude de la positivité locale et les propriétés des syzygies d'une variété algébrique. -
Michel Gros
Aspects locaux de la correspondance de Simpson p-adique
8 avril 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Résumé : Faltings a initié en 2005 un analogue p-adique de la correspondance de Simpson complexe. Après en avoir rappelé les buts, nous détaillerons les aspects locaux d'une nouvelle approche de cette correspondance (travail en commun avec A. Abbes). -
Sarah Zerbes
Exposé reporté à une date ultérieure
22 avril 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Titre : Euler systems for Rankin-Selberg convolutions and generalisations'. Abstract: I will give an overview of my work with Antonio Lei, David Loeffler and Guido Kings about the construction of an Euler system for Rankin-Selberg convolutions of modular forms and its arithmetic applications. I will then discuss generalisations of this approach for constructing Euler systems for more general reductive groups. This is work in progress with David and Chris Skinner. -
Bruno Chiarellotto
Monodromy action and special fiber for semistable schemes over a DVR
29 avril 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
We plan to discuss some results on the action of the monodromy on the (unipotent) de Rham fundamental group of the generic fiber of some type of semistable schemes over a DVR in mixed characteristic. The action will be interpreted in terms of structure of the graph of the special fiber. This is joint work with Ch. Lazda. -
Gabriel Dospinescu
Fonctions analytiques sur la tour de Drinfeld
6 mai 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Résumé: Nous allons décrire les fonctions analytiques sur la tour de Drinfeld pour GL_2(Q_p) en termes de correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands "classiques" ainsi que de la correspondance de Langlands p-adique pour GL_2(Q_p). Cette description conjecturale est due à Breuil et Strauch. Si le temps le permet, nous discuterons les ingrédients de la preuve. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Arthur-César Le Bras. -
Evelina Viada
The explicit Mordell Conjecture for families of curves
20 mai 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Resume: In a work in collaboration with S. Checcoli and F. Veneziano we give explicit bounds for the height of the rational points of curves of genus at least 2 in a product ExE of an elliptic curve with E(Q) of rank one. These bounds are so sharp that a computer search can be implemented in many cases. So we produce many nontrivial examples of curves and list all their rational points. -
Matthias Strauch
Arithmetic differential operators on the p-adic upper half plane and p-adic representations of GL(2)
3 juin 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Abstract: The p-adic upper half plane comes equipped with a remarkable tower of GL(2)-equivariant etale covering spaces, as was shown by Drinfeld. It has been an open question for some time whether the spaces of global sections of the structure sheaf on such coverings provide admissible locally analytic representations. Using global methods and the p-adic Langlands correspondence for GL(2,Qp), this is now known to be the case by the work of Dospinescu and Le Bras. For the first layer of this tower Teitelbaum exhibited a nice formal model which we use to provide a local proof for the admissibility of the representation (when the base field is any finite extension of Qp). The other key ingredients are suitably defined sheaves of arithmetic differential operators and D-affinity resultsfor formal models of the rigid analytic projective line, generalizing those of Christine Huyghe.This is joint work with Christine Huyghe, Deepam Patel, and Tobias Schmidt. -
Daxin Xu
Transport parallèle et correspondance de Simpson p-adique.
10 juin 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Résumé: Deninger et Werner ont développé un analogue pour les courbes p-adiques de la correspondance classique de Narasimhan et Seshadri entre les fibrés vectoriels stables de degré zéro et les représentations unitaires du groupe fondamental topologique pour une courbe complexe propre et lisse. Par transport parallèle, ils ont associé fonctoriellement à chaque fibré vectoriel sur une courbe p-adique dont la réduction est fortement semi-stable de degré 0 une représentation p-adique du groupe fondamental étale de la courbe. Ils se sont posés quelques questions: si leur foncteur est pleinement fidèle; si la cohomologie des systèmes locaux fournis par leur foncteur admet une filtration de Hodge-Tate; et si leur construction est compatible avec la correspondance de Simpson p-adique développée par Faltings. Dans cet exposé, nous répondons à ces questions. -
Jan Nagel
Transformation de Radon et applications.
17 juin 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
La transformation de Radon, introduite par Brylinski en 1986, est un outil puissant pour l'étude de la topologie des variétés algébriques; elle peut être vue comme une généralisation de la théorie de Picard-Lefschetz. Dans cet exposé on utilisera la transformation de Radon pour étudier la topologie de la famille universelle des hypersurfaces dans l'espace projectif et des fibrés en quadriques. -
Stéphane Druel
Feuilletages réguliers sur les variétés de dimension 5
24 juin 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Une conjecture récente de Pereira et Touzet prédit que certains feuilletages sont algébriquement intégrables. Dans cet exposé, j'en démontrerai des cas particuliers, puis j'expliquerai les conséquences de ce résultat à la structure de certains feuilletages réguliers dont la première classe de Chern est nulle. -
Oliviier ,Jean-Pierre Benoist Wintenberger
Réunion d'organisation
15 septembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
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Jean-Pierre Demailly
"Théorème d'extension L² de sections holomorphes et applications à la géométrie algébrique"
22 septembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Résumé: L'objet de l'exposé sera de discuter un résultat récent assez général concernant l'extension de sections définies sur certaines sous-variétés non nécessairement réduites d'une variété algébrique ou analytique, ainsi que les perspectives d'applications géométriques. -
Olivier Benoist
Sur le 17ème problème de Hilbert en petit degré
29 septembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu'un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est une somme de carrés de fractions rationnelles, et Pfister a montré que 2^n carrés suffisent. En 3 variables ou plus, c'est une question ouverte de décider si la borne de Pfister est optimale. Dans cet exposé, on montrera que celle-ci peut être améliorée pour des polynômes de petit degré (au plus 2n-2, et parfois 2n). -
Lin Jie
Une version automorphe de la conjecture de Deligne
6 octobre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Résumé: La conjecture de Deligne prédit des liens entres les valeurs critiques d'un motif et les périodes motiviques. Si le motif est le produit tensoriel de deux motifs automorphes sur un corps CM, on peut reformuler cette conjecture en termes de périodes automorphes. Dans cet exposé, nous allons d'abord établir cette reformulation, et puis introduire certains résultats automorphes connus. -
Giancarlo Lucchini Arteche
Arithmétique des espaces homogènes et problème de Galois inverse
13 octobre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
En géométrie algébrique, un espace homogène est défini sur un corps k algébriquement clos de caractéristique nulle tout simplement comme une k-variété algébrique munie d'une action d'un k-groupe algébrique qui est transitive au niveau des k-points, en parfaite analogie avec le cas classique en topologie. La situation change cependant lorsqu'on regarde la situation sur un corps de base quelconque, notamment sur un corps de nombres. Cela fait de l'étude arithmetique de ces variétés un problème qui est loin d'être achevé. Dans cet exposé, j'introduirai quelques notions de base sur les espaces homogènes, puis je définirai les notions d'approximation faible et très faible pour une variété sur un corps de nombres. Celles-ci décrivent la répartition des points rationnels de la variété vis-à-vis des points dans les différents complétés du corps de base. J'évoquerai par la suite ce qui est connu et ce qui reste à faire au sujet de ces deux propriétés pour les espaces homogènes des groupes linéaires. Enfin, je montrerai comment les questions qui restent ouvertes dans ce domaine sont reliées au problème de Galois inverse (problème qui est loin d'être résolu aussi !), ce qui témoigne de la difficulté de ces questions. -
Sarah Zerbes
Rankin-Selberg Euler systems and generalizations
3 novembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
I will outline the constuction of an Euler system for Rankin-Selberg convolutions of modular forms. I will then explain how the ideas in this construction can be applied to construct Euler systems for other automorphic Galois represntations, including the Asai representation of a quadratic Hilbert modular form and the spin representation of a genus 2 Siegel modular form. This is joint work with Antonio Lei, David Loeffler and Chris Skinner. -
Xavier Caruso
Factorisation par les pentes de polynômes de Ore et applications.
10 novembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
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Gerard Freixas I Montplet
Torsion analytique holomorphe, formes modulaires quaternioniques et correspondance de Jacquet-Langlands
17 novembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
La correspondance de Jacquet-Langlands est un outil de la théorie des formes automorphes, qui identifie des représentations de différentes formes intérieures d'un groupe réductif, par exemple GL_2 sur un corps quadratique réel. Pour cet exemple en particulier, un résultat de Shimura établit des relations entre les normes de Petersson de formes modulaires holomorphes en correspondance. Je discuterai un avatar de ce résultat, pour les formes non-holomorphes, qui se manifeste en termes d'un invariant spectral connu par "torsion analytique holomorphe". Cet invariant est un ingrédient fondamental dans la formule de Grothendieck-Riemann-Roch en géométrie d'Arakelov. Le théorème de Shimura et son avatar non-holomorphe, plus la formule de GRR en géométrie d'Arakelov, fournissent des relations entre des nombres d'intersection "arithmétiques", naturellement attachés à une surface modulaire de Hilbert quaternionique d'un côté, et une courbe de Shimura de l'autre côté. Ce raisonnement est un guide d'un projet "expérimental" dont le but est démontrer une formule de GRR dans des situations géométriques "non-compactes" (comme les surfaces modulaires de Hilbert classiques) pour lesquelles la théorie d'Arakelov classique ne s'applique pas. Les contenus de l'exposé sont basés sur des travaux en collaboration avec D. Eriksson et S. Sankaran. -
Matthew Morrow
Dualité de Poincaré et classes de Chern en A_inf-cohomologie.
24 novembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
"Je présenterai quelques résultats de l'article «Integral p-adic Hodge theory» en collaboration avec Bhatt et Scholze, en particulier notre construction d'une théorie de cohomologie pour les schémas p-adiques, qui interpole entre les cohomologies étale, cristalline et de de Rham. J'expliquerai ensuite que cette cohomologie jouit des propriétés attendues, telles que la dualité de Poincaré et l'existence de classes de Chern." -
Georges Comte
Points rationnels de hauteur bornée des fonctions analytiques
1 décembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
Les points rationnels, de hauteur au plus un entier H, du graphe d'une fonction analytique f d'une variable (une série entière sur un disque de rayon strictement plus petit que son rayon de convergence) sont peu nombreux (c'est-à-dire au plus une puissance de log H) dès lors que ce graphe coupe les courbes algébriques de degré d en un nombre de points au plus polynomial en d. Sous certaines hypothèses portant sur les coefficients de la série f, on peut garantir un tel comportement du graphe de f. Il s'agit de raffinements de théorèmes de comptage de points rationnels à la Pila-Bombieri, Pila-Wilkie, obtenus en collaboration avec Y. Yomdin ou C. Miller. J'expliquerai le contexte général et je donnerai les idées importantes permettant de produire de telles bornes pour le nombre de points rationnels. L'exposé ne suppose aucun prérequis particulier. -
Hélène Esnault
Un théorème de Lefschetz pour les isocrystaux surconvergents avec structure de Frobenius.
8 décembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
On montre l’analogue du théorème l-adique (Wiesend-Deligne-Drinfeld) et on en tire quelques conséquences.
Travail en commun avec Tomoyuki Abe. -
Christopher Lazda
l-independence for semistable varieties over equicharacteristic local fields
15 décembre 2016 - 14:00Salle de séminaires 309
If X is a variety over an equicharacteristic local field K, and l is a prime different from the residue characteristic p, then one can use the l-adic local monodromy theorem and the theory of Weil-Deligne representations to make precise the conjecture that the l-adic etale cohomology groups are independent of l. I will explain how to extend this conjecture to include the case l=p, and then show how to prove (a weak form of it) it when X is smooth and proper with semistable reduction, via a 'spreading out' argument. I will also discuss similar questions for the unipotent fundamental group. This is joint work with Bruno Chiarellotto.