Séminaire Arithmétique et géométrie algébrique
organisé par l'équipe Arithmétique et géométrie algébrique
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Bruno Klingler
Sur les corps de définition des lieux de Hodge
21 janvier 2021 - 14:00Web-séminaire
Etant donnée une variation de structure de Hodge sur une variété quasi-projective $S$, le lieu de Hodge est l'ensemble des points de $S$ où la structure de Hodge admet des tenseurs de Hodge exceptionnels. Un résultat fameux de Cattani-Deligne-Kaplan affirme que ce lieu est une union dénombrable de sous-variétés algébriques irréductibles, les sous-variétés spéciales de $S$ associée à la variation. Quand de plus la variation est définie sur un corps de nombre (c'est-à-dire que la connexion algébrique associée l'est), il est conjecturé que ces sous-variétés spéciales sont aussi définies sur un corps de nombre. Nous montrons que c'est le cas pour les variétés spéciales dont le groupe de monodromie vérifie une condition simple. En particulier, nous réduisons la conjecture au cas des points spéciaux. (travail commun avec A.Otwinowska et D. Urbanik) -
Antoine Etiesse
Hyperbolicité intermédiaire
28 janvier 2021 - 14:00Web-séminaire
Dans cet exposé, nous introduirons les notions d’hyperbolicités intermédiaires, d’abord dans le sens (usuel) analytique, puis dans le sens algébrique, et enfin, brièvement, dans le sens arithmétique. Nous discuterons en particulier de quelques grandes conjectures sur le sujet, déclinées suivant les différents sens. Nous présenterons alors des résultats de finitude prédits par ces conjectures, sous des hypothèses d’hyperbolicité intermédiaire analytique, ou algébrique -
Giulia Saccà
Fixed loci of anti-symplectic involutions
4 février 2021 - 14:00Web-séminaire
It is known that to some Fano manifolds whose cohomology looks like
that of a K3 surface, one can associate via geometric constructions
examples of hyperkahler manifolds. In this talk I will report on the
first steps of a program whose aim is to reverse this construction:
starting from a hyperkahler manifold how to recover geometrically a
Fano manifold? This is joint work with L. Flapan, E. Macrì, and K. O'Grady. -
Giulio Bresciani
Is there any polynomial bijection from Q x Q to Q?
11 février 2021 - 14:00Web-séminaire
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Piotr Achinger
Refinements of the Deligne--Illusie theorem
18 février 2021 - 14:00Web-séminaire
I will discuss how using some homological algebra one can slightly upgrade the results of Deligne and Illusie on decompositions of the de Rham complex in characteristic p. -
Marco Maculan
Affine vs. Stein en géométrie complexe et p-adique
4 mars 2021 - 14:00Web-séminaire
Une variété complexe est dite Stein si elle peut être plongée de manière holomorphe dans un espace affine. Ça va sans dire, les variétés affines complexes sont Stein. Toutefois la réciproque est fausse : Serre a exhibé un groupe algébrique non affine (l’extension vectorielle universelle d’une courbe elliptique) biholomorphe à un groupe affine (le produit de deux copies du groupe multiplicatif). Dans un projet en commun avec J. Poineau, on s’intéresse à l’analogue p-adique (ou, plus généralement, non archimédien) de ce phénomène. Malgré les ressemblances formelles entre les théories analytiques complexes et p-adiques, à notre surprise la situation p-adique est beaucoup plus rigide. Dans cet exposé, je rappellerai les résultats complexes et me concentrerai ensuite sur les idées et les exemples principaux qui rendent les résultats p-adiques si différents. -
Javier Fresán
Fonctions L de sommes de Kloosterman et moments de Bessel
11 mars 2021 - 14:00Web-séminaire
L’exposé portera sur une famille de fonctions L globales définies comme produit eulérien des moments des puissances symétriques des sommes de Kloosterman sur les corps finis. On montre qu’elles proviennent de motifs potentiellement automorphes sur les nombres rationnels et donc admettent une extension méromorphe au plan complexe satisfaisant à l’équation fonctionnelle attendue. Bien qu'il s'agisse de motifs "classiques", la stratégie consiste à les réaliser d'abord comme des motifs exponentiels et à calculer leurs nombres de Hodge à l'aide de la filtration de Hodge irrégulière. En espérant que le temps le permette, je discuterai aussi les périodes de ces motifs et une famille remarquable de relations quadratiques auxquelles elles satisfont. Il s’agit d’un travail en commun avec Claude Sabbah et Jeng-Daw Yu. -
Sally Gilles
Cohomologie syntomique et morphismes de période
18 mars 2021 - 14:00Web-séminaire
Récemment, Colmez and Niziol ont prouvé un théorème de comparaison entre les cycles proches $p$-adiques arithmétiques et les faisceaux de cohomologie syntomique. Pour cela, ils ont donné une construction locale qui utilise la théorie des $(\phi, \Gamma)$-modules, ce qui permet de réduire l'isomorphisme de période à un théorème de comparaison entre des cohomologies d'algèbres de Lie. Dans cet exposé, j'expliquerai comment construire la version géométrique de cet isomorphisme. En particulier, cette nouvelle description explicite peut être utilisée pour comparer des constructions précédentes de morphismes de période et montrer qu'ils sont égaux. -
Olivier Benoist
La méthode de Clemens-Griffiths sur un corps non clos
25 mars 2021 - 14:00Web-séminaire
Le problème de Lüroth demande si toute variété unirationnelle est rationnelle. Sur le corps des complexes, il admet une réponse positive pour les courbes et les surfaces, mais est en défaut en dimension supérieure. Dans cet exposé, je considérerai le problème de Lüroth pour des variétés géométriquement rationnelles sur un corps non algébriquement clos k. En adaptant dans ce contexte la stratégie développée par Clemens et Griffiths sur les complexes (qui repose sur la théorie de Hodge), je donnerai de nouveaux exemples de k-variétés qui sont géométriquement rationnelles, k-unirationnelles, mais pas k-rationnelles. Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Wittenberg. -
Susanna Zimmermann
Groupes algébriques des transformations birationnelles sur un corps parfait
1 avril 2021 - 14:00Web-séminaire
Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Si le corps de base est clos, le groupe de Cremona contient des sous-groupes algébriques, et ils sont largement classifiés. Je m’intéresse au cas, où le corps de base est un corps parfait arbitraire. Un groupe algébrique peux agir birationnellement sur le plan, mais c’est seulement son sous-groupe des points rationnelles qui se plonge dans le groupe de Cremona. Je vais donner des exemples des tels groupes algébriques et expliquer comment les classifier à conjugaison près -
Yunqing Tang
Reductions of K3 surfaces via intersections on GSpin Shimura varieties
8 avril 2021 - 14:00Web-séminaire
For a K3 surface X over a number field with potentially good reduction everywhere, we prove that there are infinitely many primes modulo which the reduction of X has larger geometric Picard rank than that of the generic fiber X. A similar statement still holds true for ordinary K3 surfaces with potentially good reduction everywhere over global function fields. In this talk, I will present the proofs via the (arithmetic) intersection theory on good integral models (and its special fibers) of GSpin Shimura varieties along with a potential application to a certain case of the Hecke orbit conjecture of Chai and Oort. This talk is based on joint work with Ananth Shankar, Arul Shankar, and Salim Tayou and with Davesh Maulik and Ananth Shankar. -
Giada Grossi
Higher Hida theory for Hilbert modular varieties
15 avril 2021 - 14:00Web-séminaire
In recent years Pilloni and his collaborators studied p-adic properties of the higher degree coherent cohomology of automorphic sheaves on certain (toroidal compactifications of) Shimura varieties. I will talk about how to develop higher Hida theory à la Pilloni for Hilbert modular varieties. More precisely, after an introduction on p-adic modular forms and classical Hida theory, I will explain how to construct some modules interpolating p-adically higher coherent cohomology groups of the Hilbert modular varieties associated to a totally real field F in the case where the prime p splits completely in F. If time permits, I will discuss about further applications to the construction of p-adic L-functions -
Stefan Schreieder
Refined unramified cohomology and algebraic cycles
22 avril 2021 - 14:00Web-séminaire
We introduce refined unramified cohomology groups, explain their relation to classical unramified cohomology, and prove some general comparison theorems to certain cycle groups. This generalizes and simplifies work of Bloch--Ogus, Colliot-Thelene--Voisin, Voisin, and Ma, who dealt with cycles of low (co-)dimension. Our approach has several applications. For instance, it allows to construct the first example of a variety whose Griffiths group has infinite torsion subgroup. -
Florent Schaffhauser
Fibrés de Higgs et systèmes locaux tordus
6 mai 2021 - 14:00Web-séminaire
Les orbifolds analytiques complexes donnent lieu à des exemples naturels de systèmes locaux tordus, pour lesquels le groupe fondamental agit non trivialement sur le groupe des coefficients. Dans son article 'Higgs bundles and local systems’ de 1992, C. Simpson laisse ouverte la question de la construction des fibrés de Higgs associés à de tels systèmes locaux, y compris sur les surfaces de Riemann. Le but de l’exposé est de donner les grandes lignes d'une réponse possible à cette question, en nous concentrant particulièrement sur les notions de stabilité et de réduction harmonique, dans ce contexte tordu. https://uniandes-edu-co.zoom.us/j/82298245614 Meeting ID: 822 9824 5614 -
Francesca Bianchi
Explicit quadratic Chabauty over number fields
20 mai 2021 - 14:00Web-séminaire
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Andreas Höring
Variétés projectives à fibré tangent big
27 mai 2021 - 14:00Web-séminaire
Il est bien connu que les variétés projectives homogènes ont une géométrie très riche.
Du point de vue de la théorie de classification les variétés homogènes sont les variétés dont le fibré tangent est engendré par ses sections globales. Dans cet exposé je vais considérer la classe plus large des variétés à fibré tangent big, c’est-à-dire des variétés dont une puissance symétrique du fibré tangent a « beaucoup » de sections. Je vais discuter quelques exemples et indiquer une première étape vers un théorème de classification -
Fei Hu
A dynamical approach to Weil’s Riemann hypothesis
3 juin 2021 - 14:00Web-séminaire
Inspired by a result of Esnault and Srinivas on automorphisms of surfaces and recent advances in complex dynamics, Truong raised a question on the comparison of two dynamical degrees, which are defined using pullback actions of dynamical correspondences on numerical cycle class groups and cohomology groups, respectively. An affirmative answer to his question would surprisingly imply Weil’s Riemann hypothesis. In this talk, we consider more comparison problems on the norms and spectral radii of the pullback actions of certain correspondences. I will talk about their connections with Truong’s dynamical degree comparison and the standard conjectures. Under certain technical assumption, some partial results will be given. I will also discuss some applications to Abelian varieties and surfaces. This is based on joint work with Tuyen Truong. -
Remy Van Dobben De Bruyn
A variety that cannot be dominated by one that lifts.
10 juin 2021 - 14:00Web-séminaire
The recent proofs of the Tate conjecture for K3 surfaces over finite fields start by lifting the surface to characteristic 0. Serre showed in the sixties that not every variety can be lifted, but the question whether every motive lifts to characteristic 0 is open. We give a negative answer to a geometric version of this question, by constructing a smooth projective variety that cannot be dominated by a smooth projective variety that lifts to characteristic 0. -
Eloïse Hamilton
Lissité des ensembles de points fixes et cohomologie des quotients
17 juin 2021 - 14:00Web-séminaire
D'après un résultat classique, si un groupe réductif agit sur une variété lisse, alors l'ensemble des points fixes est lui aussi lisse. Ce résultat a d'imporantes conséquences cohomologiques. En particulier il permet de calculer la topologie de quotients de variétés lisses par l'action de groupes réductifs. L'objectif de cet exposé est de montrer comment ces résultats peuvent être étendus à l'action de groupes non-réductifs sur des variétés lisses. L'outil principal que nous utilisons est la GIT Non-Réductive, qui est une généralisation récente de la GIT due à Berczi, Doran, Hawes et Kirwan. -
Daniel Disegni
Cycles, groupes de Selmer et fonctions L p-adiques pour motifs hermitiens
24 juin 2021 - 13:15Web-séminaire
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (p-adique) relie le rang de Mordell-Weil d’une courbe elliptique E à l’ordre d’annulation, au centre, de sa fonction L (p-adique). Par Wiles et al., E correspond à une forme modulaire pour GL(2), ce qui donne assez d’outils pour prouver BSD en rang 0 ou 1.
Je vais exposer un travail en cours vers l'énoncé suivant, sur les motifs M associés à certaines representations automorphes du groupe unitaire U(2n): Si la fonction L p-adique de M s’annule à l’ordre 1, un cycle algébrique explicite a image non-nulle dans les groupes de Chow et de Selmer.
(Les théories des formes automorphes et des fonctions L p-adiques ne sont pas des pré-requis.) -
Emiliano Ambrosi
Sur-convergence du module de Dieudonné d'un schéma semi-abélien.
14 octobre 2021 - 14:00Salle de conférences IRMA
Soit X une variété lisse sur un corps fini. Après une (longue) introduction aux différentes systèmes locaux p-adiques sur X et aux relations entre eux, je vais expliquer comme montrer que le cristal de Dieudonné associé à un schéma semi-abélien sur X est sur-convergent. -
Salvatore Floccari
Motives of hyper-Kähler varieties and the Mumford-Tate conjecture
21 octobre 2021 - 14:00Salle de conférences IRMA
Given an algebraic variety over a finitely generated field of characteristic 0, the Mumford-Tate conjecture predicts the existence of a tight link between the Hodge structure on its singular cohomology and the Galois representation on its étale cohomology. Little evidence supports this statement, which is still open for some abelian fourfolds. In the case of hyper-Kähler varieties, the conjecture has been proven in codimension 1 by André. In my talk, I will discuss a strategy to attack the full Mumford-Tate conjecture for these varieties. Via this method the conjecture is proven for all those hyper-Kähler varieties of known deformation type, together with related conjectures on their André motives. Some of the results I will present are joint work with Lie Fu and Ziyu Zhang. -
Federico Scavia
Sur la conjecture de Tate entière pour certains produits en dimension 3 sur un corps fini
18 novembre 2021 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Soit X le produit d'une surface S satisfaisant b_2=\rho et d'une curve C sur un corps fini F. On établit une forme forte de la conjecture de Tate entière pour les 1-cycles sur X, sous certaines hypothèses arithmétiques sur C et S. Par exemple, on démontre que la conjecture de Tate entière vaut si char(F)\neq 2, S est une surface d'Enriques et C est une courbe elliptique sans 2-torsion non-triviale définie sur F.
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Lie Fu
Variétés symplectiques supersingulières
25 novembre 2021 - 14:00Salle de séminaires IRMA
La théorie de surfaces K3 en caractéristiques positives est très riche. Dans travaux en commun avec Z. Li et H. Zou, nous étudions les analogues naturelles de surfaces K3 en dimension supérieure (appelés variétés symplectiques), surtout celles qui sont supersingulières. Je présenterai dans l'exposé plusieurs conjectures proposées dans nos articles sur la géométrie et les cycles algébriques (ou le motif) de ces variétés, ainsi que des résultats vérifiant ces conjectures dans des cas liés aux espaces de modules des faisceaux. -
Giuseppe Ancona
Formes quadratiques issues de la géométrie et leur signature
1 décembre 2021 - 16:00Salle de séminaires IRMA
Cet exposé "façon colloquium" portera sur deux formes quadratiques induites respectivement par le cup produit en topologie et par le produit d'intersection en géométrie algébrique.
Leur signature est étudiée depuis près d'un siècle. On rappellera les résultats classique (le théorème de l'indice de Hodge et les relations de Hodge-Riemann), on donnera des applications arithmétiques (estimées de Lang-Weil) puis on présentera un problème ouvert (conjecture standard de type Hodge) et un résultat récent sur ce dernier. -
Niels Feld
Transferts, faisceaux homotopiques et K-théorie de Milnor-Witt
2 décembre 2021 - 15:00Salle de séminaires IRMA
Dans la fin des années 1990, Voevodsky amorça une unification des méthodes algébriques et topologiques. Mélangeant géométrie algébrique et théorie de l'homotopie, Morel et Voevodsky développèrent ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie de l'homotopie motivique dont l'idée maîtresse était d'appliquer les techniques de topologie algébrique classique à l'étude des schémas (la droite affine A1 jouant alors le rôle de l'intervalle unité [0,1]). L'objectif principal de cette nouvelle théorie se concrétisa par la démonstration de la conjecture de Milnor par Voevodsky (notamment grâce aux travaux de Rost sur la théorie des modules de cycles), ce qui lui a valu la médaille Fields en 2002. Dans cet exposé, on commencera par des rappels d'A1-homotopie pour ensuite présenter quelques conséquences de l'étude des faisceaux et des modules homotopiques via l'exemple de la K-théorie de Milnor-Witt : conjecture de Morel sur l'existence de transferts, utilisation des corps p-primaires, théorème d'équivalence avec les modules de cycles, etc. -
Kuan-Wen Lai
Bijective Cremona transformations of the plane
9 décembre 2021 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Birational automorphisms of projective spaces are called Cremona transformations. Fixing a ground field k, we call a Cremona transformation "bijective" if both the map and its inverse are well-defined at all the k-rational points. When k is finite, every such map induces a permutation on the set of rational points, and one may ask which permutation on the rational points can be realized this way. In this talk, I will present the full answer for the case of dimension 2. This is a joint work with Shamil Asgarli, Masahiro Nakahara, and Susanna Zimmermann.