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Séminaire Arithmétique et géométrie algébrique

organisé par l'équipe Arithmétique et géométrie algébrique

  • Massimo Pippi

    Quelque invariant (co)homologique des catégories des factorisations matricielles cohérentes

    13 janvier 2022 - 08:00Salle de conférences IRMA


    Si on se donne une fonction f sur une variété régulière X, on peut considérer la catégorie des factorisations matricielles MF(X,f) pour étudier les singularités de f^{-1}(0). En fait, cette catégorie est triviale si et seulement si f^{−1}(0) est régulière. En autre, depuis les travaux de T. Dyckerhoff A. Efimov, E. Segal, K. H. Lin - D. Pomerlano, A. Preygel, A. Blanc - M. Robalo - B. Toën - G. Vezzosi et. al. c’est connu que la (co)homologie de MF(X,f) est reliée à la cohomologie évanescente de f : X → A^1. Dans cet exposé on s’intéressera au cas où X n’est pas régulier. Dans ce cas, A. Efimov et L. Positselski ont introduit une variante de MF(X,f) qu’on appelle catégorie des factorisations matricielles cohérentes. En appuyant sur certains résultats de D. Orlov et J. Burke - M. Walker et en utilisant certains op ́erateurs introduits par D. Eisenbud et J. Burke - M. Walker, on expliquera que cette catégorie est équivalente à une catégorie des factorisations matricielles sur un espace lisse, en nous permettant d’étudier sa (co)homologie.

  • Rémi Jaoui

    Sur les relations algébriques entre les solutions des équations de Poizat.

    20 janvier 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Durant les vingt dernières années, des techniques mélangeant théorie des modèles et algèbre différentielle ont eu de nombreuses applications à l’étude des relations algébriques entre solutions d’équations différentielles algébriques non linéaires (équations de Painlevé, équations différentielles schwarziennes, noyaux de Manin…)

    Dans mon exposé, je discuterai certaines de ces techniques sur un exemple concret issu des travaux de Poizat dans les années 80: les équations différentielles d’ordre deux de la forme y’’/y’ = f(y) où f(y) est une fonction rationnelle d’une variable. En particulier, je décrirai intégralement la structure des relations algébriques entre solutions de telles équations différentielles obtenue dans un récent travail avec James Freitag, David Marker et Joel Nagloo.

  • Dragos Fratila

    Une nouvelle classe de périodes p-adiques à travers des cycles algébriques en caractéristique positive

    27 janvier 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    Dans l'optique de mieux comprendre les cycles algébriques en caractéristique positive, notamment leur position dans la cohomologie l-adique/p-adique, nous avons défini des nombres p-adiques associés a toute variété projective lisse sur Q avec bonne reduction en p. Nous les appelons des périodes p-adiques et conjecturons qu'elles prédisent quand est-ce qu'un cycle algébrique modulo p se relève en caractéristique zéro. Dit autrement, cela nous permet de formuler une conjecture analogue à celle des périodes de Grothendieck. Il est de plus possible de donner une formulation p-adique de la conjecture de Gross-Deligne sur les périodes des certaines variétés abéliennes. Dans cette exposé je rappelerai brièvement trois conjectures classiques sur les cycles algébriques (Hodge, Tate, périodes de Grothendieck) et ensuite j'expliquerai la définition des périodes p-adiques que nous proposons. Ensuite j'expliquerai le cadre tannakien qui nous permet de donner des bornes supérieures pour le degré de transcendence de ces périodes et, si le temps le permet, quelques calculs de ces bornes dans de petits exemples. Ceci est un travail en commun avec Giuseppe Ancona.

  • Francesca Carocci

    BPS invariant from non Archimedean integrals

    3 février 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    We consider moduli spaces M(ß,χ) of one-dimensional semistable sheaves on del Pezzo and K3 surfaces supported on ample curve classes. Working over a non-archimedean local field F, we define a natural measure on the F-points of such moduli spaces. We prove that the integral of a certain naturally defined gerbe on M(ß,χ) with respect to this measure is independent of the Euler characteristic. Analogous statements hold for (meromorphic or not) Higgs bundles. Recent results of Maulik-Shen and Kinjo-Coseki imply that these integrals compute the BPS invariants for the del Pezzo case and for Higgs bundles. This is a joint work with Giulio Orecchia and Dimitri Wyss.

  • Emma Brakkee

    General type results for moduli of hyperkähler varieties

    24 février 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    Abstract: In 2007, Gritsenko, Hulek and Sankaran proved that the moduli space of K3 surfaces of degree 2d is of general type when d>61. Their main result is a reduction of the question to the existence of a certain cusp form for an orthogonal modular variety. This result has been applied successfully to prove general type results for, among others, moduli of some higher-dimensional hyperkähler varieties. In this talk, we will sketch the reduction argument and give an overview for which hyperkähler moduli spaces general type results have been proven. Finally, we will explain how similar results can be obtained for the moduli of two more types of hyperkähler varieties. This is joint work in progress with I. Barros, P. Beri and L. Flapan.

  • Lukas Brantner

    Deformations of ordinary Calabi-Yau varieties

    3 mars 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    Over the complex numbers, the Bomolgorov-Tian-Todorev theorem asserts that Calabi-Yau varieties have unobstructed deformations, so any n^{th} order deformation extends to higher order.

    We prove an analogue of this statement for the nicest kind of Calabi-Yau varieties in characteristic p, namely ordinary ones, using derived algebraic geometry. In fact, we produce canonical lifts to characteristic zero, thereby generalising results of Serre-Tate, Deligne-Nygaard, Ward, and Achinger-Zdanowic. This is joint work with Taelman.

  • Veronika Ertl

    Integral p-adic cohomology for open and singular varieties

    10 mars 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    n this talk I will explain a joint result with Johannes Sprang and Atsushi Shiho. Under certain conditions of resolutions of singularities in positive characteristic, we construct a "good" integral p-adic cohomology theory for open and singular varieties, by using a version of Voevodsky's h-topology. I will explain the construction and clarify in which sense our cohomology is a "good" p-adic cohomology theory. I will also touch on the question why a similar approach does not work in full generally without resolutions of singularities.

  • Marco D'addezio

    Parabolicity conjecture of F-isocrystals

    17 mars 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    I will talk about Crew's parabolicity conjecture for the algebraic monodromy groups of overconvergent F-isocrystals. Besides the proof, I will explore the main consequences of this conjecture. For example, I will explain how to deduce from the conjecture that over finitely generated fields of positive characteristic p the Galois action on the étale p-adic Tate module of an abelian variety is semi-simple. In the end, I will also present a refinement of the conjecture which is part of a joint work with Van Hoften.

  • Elden Elmanto

    On the motivic cohomology of schemes

    24 mars 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    I will report on joint work with Matthew Morrow. Using ideas from topological cyclic homology and p-adic Hodge theory, we constructed a theory of Zariski p-adic motivic complexes for any qcqs scheme in characteristic p. This theory is the associated graded pieces of a motivic filtration on algebraic K-theory and hence form the E_2 page of an extension of the motivic spectral sequence of smooth varieties. A key result is an agreement of this construction with Bloch cycle complexes on smooth varieties which, time permitting, I will explain a proof of.

  • Francesco Denisi

    Chambres de Boucksom-Zariski sur les variétés hyperkählériennes

    31 mars 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    Dans cet exposé, je présenterai une décomposition du cône big d’une variété hyperkählérienne projective en chambres, dans chacune desquelles le support de la partie négative de la décomposition de Boucksom-Zariski est constant. Je montrerai comment une telle décomposition permet de déterminer la fonction volume. Pour conclure, si le temps le permet, j’associerai à tout diviseur big un corps convexe de dimension 2, dont la géométrie (euclidienne) est strictement liée au volume et à la variation dans le cône big du diviseur lui-même.

  • Michele Bolognesi

    Unirationalité des familles universelles d'hypersurfaces cubiques de dimension 4

    7 avril 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    Le but de cet exposé est de définir l'hypersurface cubique universelle de dimension 4 au dessus de certains lieux, dans leur espace de modules. Ensuite, nous proposerons deux méthodes pour montrer que ces familles sont unirationnelles, lorsqu'elles sont définies sur les diviseurs de Hassett _d, pour 8 \leq d\leq 42. Enfin, nous allons observer que, pour un infinité de valeurs de d, la cubique de dimension 4 universelle au dessus de C_d ne peut pas être rationnelle (travail en collaboration avec H.Awada).

  • Olivier De Gaay Fortman

    La conjecture de Hodge entière pour les courbes sur une variété abélienne

    21 avril 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    La conjecture de Hodge entière pour les courbes sur une variété projective lisse de dimension n prédit que chaque classe de Hodge entière de degré 2n-2 sur la variété est une combinaison linéaire entière de classes de courbes. Bien que cette conjecture soit fausse en générale, je démontrerai qu'elle est vrai pour la jacobienne d'une courbe projective lisse. Je discuterai également la question analogue sur les nombres réels (travail en cours).

  • Barinder Banwait

    Explicit isogenies of prime degree over number fields

    28 avril 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    We provide an explicit and algorithmic version of a theorem of Momose classifying isogenies of prime degree of elliptic curves over number fields, which we implement in Sage and PARI/GP. Combining this algorithm with recent work of Box-Gajović-Goodman we determine the first instances of isogenies of prime degree for cubic number fields, as well as for several quadratic fields not previously known. While the correctness of the general algorithm relies on the Generalised Riemann Hypothesis, the algorithm is unconditional for the restricted class of semistable elliptic curves. This is joint work with Maarten Derickx.

  • Gregorio Baldi

    The Hodge Locus

    5 mai 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    I will report on a joint work with Klingler and Ullmo. Given a polarizable variation of Hodge structures on a smooth quasi-projective variety S (e.g. the one associated to a family of pure motives over S), Cattani, Deligne and Kaplan proved that its Hodge locus (the locus of closed points of S where exceptional Hodge tenors do appear) is a countable union of closed algebraic subvarieties of S. I will explain when this Hodge locus is actually algebraic. Depending on the interest of the audience, I will conclude the talk either by describing how such an algebraicity statement complements the Lawrence-Venkatesh method or by sketching how similar ideas guarantee the existence of infinitely many 4-dimensinal Jacobians (defined over Qbar) of ‘’Mumford’s type’’.

  • Domenico Valloni

    Neighbors and arithmetic of isogenous K3 surfaces.

    12 mai 2022 - 14:00Salle de séminaires 309

    Abstract: In this talk, I will explain some basic arithmetic properties of isogenies between K3 surfaces. For instance, I will show how to determine their fields of definition and how one can prove the finiteness of the isogeny class over number fields via the open-adelic image of Cadoret and Moonen. I will also show how a classical lattice theoretical construction due to Kneser can be applied to construct new isogenies via isotropic Brauer classes. This construction turns out to be very natural and it allows one to study the isogeny class of the K3 surface $X$ via its Brauer group. Finally, I will apply the result to show how a conjecture of Shafarevich about the finiteness of the Néron-Severi lattices implies uniform bounds on the level structures of Brauer groups of K3 surfaces over number fields.

  • Yann Bugeaud

    La théorie de Baker des formes linéaires de logarithmes et ses applications

    19 mai 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    La théorie des formes linéaires de logarithmes permet de minorer de manière non triviale et complètement explicite la distance entre 1 et un produit de puissances de nombres rationnels ou, plus généralement, de nombres algébriques. Elle implique entre autres que l’écart entre les puissances de 2 et les puissances de 3 tend vers l’infini. Nous présenterons les meilleures minorations connues en expliquant les dépendances en les différents paramètres qui interviennent, dont la hauteur des nombres algébriques et leurs exposants. Nous montrerons comment cette théorie s’applique à l’approximation rationnelle des nombres algébriques et permet d’améliorer de manière effective (à la différence du théorème de Roth) le théorème de Liouville qui affirme qu’un nombre algébrique réel de degré d est approchable au plus à l’ordre d par des nombres rationnels. Il sera également question d’équations diophantiennes et, peut-être, de l’analogue p-adique de la théorie. Aucune connaissance préalable n’est requise.

  • Francesc Fité

    On a local-global principle for quadratic twists of abelian varieties

    2 juin 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    Let A and A' be abelian varieties defined over a number field k. In the talk I will consider the following question: Is it true that A and A' are quadratic twists of one another if and only if they are quadratic twists modulo p for almost every prime p of k? Serre and Ramakrishnan have given a positive answer in the case of elliptic curves and a result of Rajan implies the validity of the principle when A and A' have trivial geometric endomorphism ring. For not necessarily simple abelian varieties, I will show that the answer is affirmative up to dimension 3, but that it becomes negative in dimension 4. The proof builds on Rajan's result and uses a Tate module tensor decomposition of an abelian variety geometrically isotypic (the latter obtained in collaboration with Xavier Guitart).

  • Mattia Cavicchi

    Conjectures de Bloch-Beilinson pour caractères de Hecke et cohomologie d'Eisenstein des surfaces de Picard

    9 juin 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    Soit \phi un caractère de Hecke algébrique d'un corps quadratique imaginaire E. Supposons que la fonction L de \phi s'annule au point central de son équation fonctionnelle. Alors, les conjectures de Bloch-Beilinson prédisent en particulier l'existence d'une extension non triviale entre le motif trivial et un certain twist du motif associé à \phi. C'est un analogue de la conjecture de Birch-Swinnerton Dyer reliant annulation de la fonction L d'une courbe elliptique E en s=1 et existence de points rationnels non de torsion sur E. Dans cet exposé, je parlerai d'un travail avec J. Bajpai (MPIM Bonn), dans lequel nous construisons, pour une certaine famille de caractères \phi vérifiant l'hypothèse d'annulation, une extension de structures de Hodge, d'origine géométrique, dont la forme est celle prédite par les conjectures. La source de cette extension est la cohomologie de certaines variétés de Shimura dites surfaces de Picard.

  • Alice Garbagnati

    Bidouble cover of rational surfaces and K3 surfaces

    23 juin 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    A bidouble cover is a Galois cover whose Galois group is $(\Z/2\Z)^2$. We consider bidouble covers of rational surfaces to obtain surfaces $X$, either of general type or properly elliptic, whose transcendental Hodge structures and Chow groups of degree zero 0-cycles are interesting. In particular they split in the direct sum of analogue structures defined on certain surfaces which appear as intermediate double covers. We analyze the case where some of the intermediate covers are K3 surfaces, so that the transcendental Hodge structure of $X$ splits in the direct sum of Hodge structures of K3-type. We describe the geometry and some invariants of the surfaces constructed. This is a joint work with M. Penegini.

  • Valentijn Karemaker

    The Gauss problem for central leaves

    30 juin 2022 - 14:00Salle de conférences IRMA

    For a family of finite sets whose cardinalities are naturally called class numbers, the Gauss problem asks to determine the subfamily in which every member has class number one. We study the Siegel moduli space of abelian varieties in characteristic p and solve the Gauss problem for the family of central leaves, which are the loci consisting of points whose associated p-divisible groups are isomorphic. Our solution involves mass formulae, computations of automorphism groups, and a careful analysis of Ekedahl-Oort strata in genus 4. This geometric Gauss problem is closely related to an arithmetic Gauss problem for genera of positive-definite quaternion Hermitian forms, which we also solve. This is joint work with Tomoyoshi Ibukiyama and Chia-Fu Yu.

  • Thomas Agugliaro

    Variétés abéliennes sur un corps finis

    8 septembre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Soutenances de mémoire de M2 sur la théorie de Honda et Tate.

  • Hao Fu

    Le principe de Mazur pour GU(1,2)

    15 septembre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Le principe de Mazur fournit des conditions simples pour qu'une $\mathbb{F}_\ell$-représentation irréductible non ramifiée provenant d'une forme modulaire de niveau $\Gamma_0 (N p)$ provienne aussi d'une forme de niveau $\Gamma_0 (N)$. L'objectif de ce travail est de proposer une généralisation de ce principe pour une forme automorphe qui provient de la cohomologie des variétés de Shimura dites de la surface modulaire de Picard en étudiant la géométrie des fibres sp\'eciales des variétés de Shimura et la dégénérescence de la monodromie locale.

  • Arthur-César Le Bras

    Espaces de Banach-Colmez

    22 septembre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Les espaces de Banach-Colmez sont l'analogue en géométrie
    p-adique des schémas en groupes unipotents parfaits en caractéristique
    p. J'expliquerai dans cet exposé ce que sont ces objets et discuterai
    différents exemples et incarnations de cette analogie.

  • Javier Fresán

    Une fonction E non hypergéométrique

    13 octobre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Les fonctions E sont des séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle et à certaines conditions de croissance ; elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec le but de généraliser les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle. Outre l’exponentielle, des exemples incluent les fonctions de Bessel et une famille riche de séries hypergéométriques. Siegel a posé la question : est-ce que toute fonction E peut s’écrire comme une expression polynomiale en des fonctions hypergéométriques ? J'expliquerai pourquoi la réponse à cette question est négative et une correction conjecturale sous la forme "toutes les fonctions E proviennent des motifs exponentiels". Il s'agit d'un travail en en commun avec Peter Jossen.

  • Lie Fu

    Conjecture de Shafarevich pour les variétés hyperkählériennes

    20 octobre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    C'est un théorème célèbre de Faltings qu'il n'y qu'un nombre fini des variétés abéliennes définies sur un corps de nombre ayant des bonnes réductions en dehors d'un nombre fini des places fixées. Des résultats analogues pour les surfaces K3 ont été obtenus par Yves André, et Yiwei She. Je vais parler de mon travail récent en collaboration avec Z. Li, T. Takamatsu et H. Zou sur un analogue pour les généralisations des surfaces K3, à savoir, les variétés hyperkählériennes.

  • Marcin Lara

    Geometric arcs and fundamental groups of rigid spaces

    27 octobre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    We introduce a new category of covering spaces in rigid geometry, called geometric coverings, and show it is classified by a certain topological fundamental group. Geometric coverings generalize the class of étale coverings, introduced by de Jong, and its various natural modifications, and have certain desirable properties that were missing from those older notions: they are étale local and closed under taking infinite disjoint unions. The definition is based on the property of unique lifting of “geometric arcs.” On the way, we answer some questions from the foundational paper of de Jong. This is joint work with Piotr Achinger and Alex Youcis.

  • Rodriguez Camargo Juan Esteban

    Locally analytic vectors and duality of local Shimura varieties

    10 novembre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Let n be a positive integer, F a finite extension of Q_p and D the central division algebra over F of invariant 1/n. In this talk we use the machinery of solid locally analytic representations to prove that the functor of Scholze taking admissible p-adic representations of GL_n(F) to admissible p-adic representations of D^* is compatible with the passage to locally analytic vectors. An important intermediate step is the proof that the GL_n(F)-locally analytic functions of the perfectoid Lubin-Tate space are equal to its D^*-locally analytic vectors. This is a joint work with Gabriel Dospinescu.

  • Olivier Schiffmann

    Algèbres de Lie associée à une courbe et classes tautologiques.

    24 novembre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Soit $S$ est une surface symplectique projective complexe, et $v$ un vecteur de Mukai indivisible. Par un théorème de Markman, la cohomologie de l'espace de module $M_{v}$ des faisceaux cohérents stables (par rapport à une polarisation générique) de vecteur de Mukai $v$ est engendrée par les classes de Chern du fibré tautologique. Le même théorème s'applique pour des espaces de modules de fibrés de Higgs sur une courbe projective lisse. Nous présenterons un travail en collaboration avec B. Davison et L. Hennecart qui utilise la théorie des algèbres de Hall cohomologiques pour fournir un analogue de ce théorème pour un vecteur de Mukai arbitraire : si la courbe est de genre $g>1$, \textit{l'algèbre de Lie BPS} de la courbe est égale à l'espace vectoriel des classes tautologiques.

  • Ben Heuer

    p-adic non-abelian Hodge theory and the p-adic Hitchin fibration

    8 décembre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    I will give an introduction to p-adic non-abelian Hodge theory: In analogy to Simpson's non-abelian Hodge correspondence over the complex numbers, this aims to relate p-adic representations of the pro-étale fundamental group of a smooth proper rigid space X over C_p on the one hand, and Higgs bundles on X on the other hand. When studying such representations, one is naturally lead to consider vector bundles on Scholze's pro-étale site. Based on this reformulation, I will explain how one can use analytic moduli spaces to give a geometric formulation of the p-adic Simpson correspondence.

  • Rubén Muñoz--Bertrand

    Les F-isocristaux en tant que connexions de de Rham−Witt

    15 décembre 2022 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    En cohomologie rigide, les catégories des F-isocristaux convergents et surconvergents jouent un rôle similaire aux faisceaux l-adiques lisses en cohomologie étale. Ces théories de coefficients p-adiques possèdent plusieurs constructions, nécessitant usuellement des sites employant de la géométrie rigide. Depuis, Davis, Langer et Zink ont réinterprété la cohomologie rigide comme étant l'hypercohomologie d'un faisceau différentiel sur la topologie de Zariski, appelé complexe de de Rham−Witt surconvergent. Le but de cet exposé sera de présenter une équivalence de catégories entre les F-isocristaux surconvergents, et une catégorie de connexions sur le complexe de de Rham−Witt surconvergent. Pour ce faire, on s'inspirera d'une stratégie de Bloch, qu'il faudra adapter en donnant une nouvelle définition à la surconvergence que nous détaillerons ici.